mathematica.gr

Παράλληλα με τη συλλογή στην Άλγεβρα, ας αρχίσουμε και με Γεωμετρία.

Ας προσπαθήσουμε να κρατήσουμε τους κανόνες που είχαμε και στις άλλες συλλογές.

ΟΧΙ θέματα εξετάσεων (αν και είναι λίγα).

ΟΧΙ θεματα της ΟΕΦΕ.

OXI περισσότερες των 2-3 άλυτων ασκήσεων.

Ας βάλουμε στόχο γύρω στις 20 ασκήσεις σε κάθε κεφάλαιο (με τη σειρά που υπάρχουν στο σχολικό)

Να μην μπαίνει άσκηση συνδυαστική από μεταγενέστερο κεφάλαιο.

Εφόσον τα προτεινόμενα θέματα τα αντλούμε από διάφορα βοηθήματα, επιβάλλεται να αναφέρεται η πηγή (εφόσον υπάρχει).

Ας μην προτείνουμε τραβηγμένα θέματα, ούτε ασκήσεις με ένα ερώτημα.

Ας προσπαθήσουμε τα προτεινόμενα θέματα να έχουν ένα ικανό αριθμό υποερωτημάτων (από 3 έως 5 ερωτήματα).

Να προσπαθούμε να δίνουμε ολοκληρωμένες λύσεις, έτσι ίσως βοηθήσουμε όποιον φτιάξει το φυλλάδιο να μας δώσει εκτός του αρχείου των εκφωνήσεων και αρχείο με λύσεις.

Επίσης θα είναι κατανοητές και από τους μαθητες.

Λόγω του μικρού αριθμού των ασκήσεων, θα ήθελα οι συμμετέχοντες να κοιτάζουν τα προηγούμενα θέματα, ώστε να μην έχουμε ασκήσεις ίδιας μορφής.

ΑΣΚΗΣΗ 1

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει : . Αν το μέσο της ,

σημείο της με και ( επί της ), να δείξετε ότι :

α) ,

β) τα τρίγωνα είναι όμοια,

γ) .

Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει : . Αν το μέσο της ,

σημείο της με και ( επί της ), να δείξετε ότι :

α) ,

β) τα τρίγωνα είναι όμοια,

γ) .

α) Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στα έχουμε: (1)

(2)

β) Tα τρίγωνα είναι όμοια αφού είναι ορθογώνια - - και έχουν τη γωνία κοινή.

γ) Από την ομοιότητα των έχουμε: (3)

Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στo έχουμε:

ΖΩΗ έγραψε:

Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει : . Αν το μέσο της ,
σημείο της με και ( επί της ), να δείξετε ότι :
α) ,
β) τα τρίγωνα είναι όμοια,
γ) .

α) Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στα έχουμε: (1)
(2)
β) Tα τρίγωνα είναι όμοια αφού είναι ορθογώνια - - και έχουν τη γωνία κοινή.
γ) Από την ομοιότητα των έχουμε: (3)
Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στo έχουμε:

Ένα σχήμα για τη λύση της Ζωής

ΑΣΚΗΣΗ 2

Σε κυρτό τετράπλευρο είναι : και . Φέρουμε τις .

Aν το σημείο τομής των , να δείξετε ότι :

α) ,

β) το είναι ισοσκελές τραπέζιο,

γ) τα τρίγωνα είναι όμοια,

δ) οι διαγώνιοι σχηματίζουν ίσες γωνίες με τις γωνίες του .

Άσκηση 3
Σε τετράγωνο , πλευράς , είναι εγγεγραμμένος κύκλος που εφάπτεται των πλευρών

στα σημεία αντίστοιχα . Η τέμνει τον κύκλο στο και την στο .

1) Δείξτε ότι και

2) Δείξτε ότι : και

3) Δείξτε ότι το είναι το μέσο του

ΑΣΚΗΣΗ 2

Σε κυρτό τετράπλευρο ABCD είναι : και . Φέρουμε τις

Aν K το σημείο τομής των AC,BD, να δείξετε ότι :

α) ,

β) το ABCD είναι ισοσκελές τραπέζιο,

γ) τα τρίγωνα ABC,BCK είναι όμοια,

δ) οι διαγώνιοι AC,BD σχηματίζουν ίσες γωνίες με τις γωνίες του ABCD.

Συνημμένα

ask2.png

α) Θα εκφράσουμε το εμβαδόν του με δύο διαφορετικούς τρόπους, αρχικά χρησιμοποιώντας τον συμβατικό τύπο και ύστερα με την βοήθεια του τύπου του Ήρωνα για εμβαδόν τριγώνου:


Άρα τελικά:


'Ομοια και στο προκύπτει ότι:


β)Επειδή ισχύει ότι , θα πρέπει να είναι και , δηλαδή ισχύουν οι προϋποθέσεις για να είναι το τετράπλευρο ισοσκελές τραπέζιο, καθώς και οι μη παράλληλες πλευρές του είναι μεταξύ τους ίσες.

γ)Το ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο, και συνάγουμε τα εξής:
, διότι και το είναι ισοσκελές.
Tα εν λόγω τρίγωνα, που έχουν και την κοινή, συμπεραίνουμε ότι είναι όμοια.

δ)Από την ομοιότητα του γ), συμπεραίνουμε ότι , και έτσι εύκολα δείχνουμε ότι και (κατακορυφήν) και οι άλλες 2 γωνίες ως παραπληρωματικές είναι ίσες με τις , τις αντίστοιχες παραπληρωματικές των $, ως εντός και επί τα αυτά γωνίες.

Άσκηση 3
Σε τετράγωνο , πλευράς , είναι εγγεγραμμένος κύκλος που εφάπτεται των πλευρών

στα σημεία αντίστοιχα . Η τέμνει τον κύκλο στο και την στο .

1) Δείξτε ότι και

2) Δείξτε ότι : και

3) Δείξτε ότι το είναι το μέσο του

1) Παρατηρούμε ότι στα ισχύουν:


.
Τα τρίγωνα είναι ίσα και συνεπώς . Επίσης παρατηρούμε ότι:
,
λόγω της παραπάνω ισότητας. Η τελευταία σχέση μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι , αν κοιτάξουμε το
, με άλλα λόγια .

2)Εργαζόμαστε με ομοιότητες τριγώνων:

.
Για το δεύτερο ερώτημα:

.
Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι:


3) Έστω το σημείο επαφής του κύκλου με την . Τότε η είναι διάμετρος και άρα
.
Όμως, επειδή και , από την γνωστή πρόταση για την περίπτωση αυτή σε τρίγωνα, οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι και .

Υ.Γ. Πολύ ωραία άσκηση!

ΑΣΚΗΣΗ 4

Έστω τραπέζιο με . Θεωρούμε τις (τα στο φορέα της ).

Aν , να αποδείξετε ότι :

α) το μέσο του είναι μέσο και του ,

β) και ,

γ) .

ΑΣΚΗΣΗ 5

Δίνονται οι κυκλοι και που εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Α . Έστω ΒΓ το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα των δύο κύκλων .Να υπολογιστούν :
α) Το εφαπτόμενο τμήμα ΒΓ.
β) Το εμβαδό του τραπεζίου ΟΓΒΚ.
γ) Το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ.
δ) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.
ε) Το μήκος και το εμβαδόν του εγγεγραμμένου και περιγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ .
ζ) Αν το τμήμα ΑΕ είναι κάθετο στη ΒΓ , να υπολογίσετε τα τμήματα ΑΕ , ΓΕ , ΒΕ .

Καλή Ανάσταση σ' όλους

ΠΕΡΙΤΤΑ

Χάρης Γ.Λ. έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 5
Δίνονται οι κυκλοι και που εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Α . Έστω ΒΓ το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα των δύο κύκλων .Να υπολογιστούν :
α) Το εφαπτόμενο τμήμα ΒΓ.
β) Το εμβαδό του τραπεζίου ΟΓΒΚ.
γ) Το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ.
δ) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.
ε) Το μήκος και το εμβαδόν του εγγεγραμμένου και περιγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ .
ζ) Αν το τμήμα ΑΕ είναι κάθετο στη ΒΓ , να υπολογίσετε τα τμήματα ΑΕ , ΓΕ , ΒΕ

Ένα σχήμα για την άσκηση 5

ΑΣΚΗΣΗ 6η

Δίνεται κανονικό ν – γωνο με εμβαδό , το οποίο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Αν η γωνία του πολυγώνου είναι πενταπλάσια της κεντρικής του γωνίας , τότε να βρείτε:

α. Το πλήθος των πλευρών του κανονικού πολυγώνου.
β. Να υπολογίσετε σε μοίρες την γωνία του και την κεντρική γωνία του.
γ. Να βρεθεί η ακτίνα του περιγγεγραμμένου στο κανονικό πολύγωνο κύκλου.
δ. Την πλευρά του κανονικού δωδεκαγώνου που είναι εγγεγραμμένο στο κύκλο
ε. Το απόστημα του κανονικού δωδεκαγώνου στο κύκλο
στ. Το εμβαδό του κανονικού εξαγώνου που είναι εγγεγραμμένος στο κύκλο .

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΑΣΚΗΣΗ 7η

Σε κύκλο θεωρούμε μια χορδή και το μέσο του τόξου

α) Να δείξετε ότι:

β) Αν είναι το απόστημα της χορδής , να δείξετε ότι:

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του κυκλικού τμήματος που καθορίζεται από την χορδή και το τόξο .

ΠΕΡΙΤΤΑ

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 7η

Σε κύκλο θεωρούμε μια χορδή και το μέσο του τόξου

α) Να δείξετε ότι:

β) Αν είναι το απόστημα της χορδής , να δείξετε ότι:

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του κυκλικού τμήματος που καθορίζεται από την χορδή και το τόξο .

και το σχήμα στην ΑΣΚΗΣΗ 7η

Άσκηση 8
Οι διάμεσοι και του ορθογωνίου ( ) τριγώνου , τέμνονται κάθετα στο .

1) Δείξτε ότι :

2) Βρείτε το λόγο :

3) Δείξτε ότι τα ομοιόχρωμα πολύγωνα είναι ισεμβαδικά .

ΠΕΡΙΤΤΑ