mathematica.gr

2) Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και διάμετρο ΑΒ και τυχαίο σημείο Γ πάνω σε αυτόν. Με πλευρά το τμήμα ΑΓ κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΔΓ κι έστω Ε το σημείο τομής της ΑΔ και του κύκλου. Αν ΟΜ κάθετη στην ΑΔ, να δειχθεί:
i) ΕΒ = 2ΟΜ.
ii) Η ΟΔ είναι διχοτόμος του τριγώνου ΑΔΓ.
iii) ΟΔ = ΒΕ.


Για μαθητές Α΄ Λυκείου μέχρι 18/01/2010.

Καλησπέρα, προσπαθησα να λυσω το θέμα και παρακαλώ να με διορθώσετε σε περίπτωση λάθους.
i) Η γωνία ΑΕΒ βαίνει σε ημικύκλιο, άρα είναι ορθή. Τα τρίγωνα ΟΜΑ και ΕΑΒ είναι όμοια καθώς έχουν την Α κοινή την Ε=Μ=90ο, άρα και τις άλλες ίσες και οι πλευρές είναι ανάλογες. Η πλευρά ΑΒ=2ΟΑ, άρα και η ΕΒ=2ΟΜ.
ii) Αρκεί να δείξουμε ότι ΑΔΟ=ΟΔΓ (γωνίες).
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΔΟ, ΟΔΓ. Έχουν:
α)την ΟΔ κοινή
β)ΟΑ=ΟΓ=ρ
γ)ΑΔ=ΔΓ(ΑΔΓ ισόπλευρο)
Αρα τα τρίγωνα είναι ίσα, αρα και οι γωνίες ΑΔΟ,ΟΔΓ είναι ίσες.
iii) Έχουμε ήδη αποδείξει ότι ΕΒ=2ΟΜ. Για να αποδείξουμε ότι ΕΒ=ΟΔ, αρκεί να δείξουμε ότι ΟΔ=2ΟΜ. Παίρνουμε το τρίγωνο ΔΜΟ, που είναι ορθογώνιο. Ξέρουμε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μία γωνία του ισούται με 30 μοίρες, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτίνουσας. Στην προκειμένη περίπτωση η υποτίνουσα είναι η ΟΔ, η γωνία 30 μοιρών η ΜΔΟ (αφού το ΑΔΓ ισόπλευρο τότε όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες πάλι ίσες μεταξύ τους και επίσης ίσες με 60 μοίρες. Η ΟΔ είναι διχοτόμος της ΑΔΓ άρα η ΜΔΟ= 60/2=30 μοίρες) και η απέναντι των 30 μοιρών η ΟΜ. Αρα η ΟΔ=2ΟΜ (το ζητούμενο)

Μπράβο!! Πολλή καλή λύση. Μόνο το i) προσπάθησε να το λύσεις χωρίς ομοιότητα τριγώνων. Πιστεύω είναι πιο απλό.

Σταύρος Σταυρόπουλος

ΑΕΒ(γωνια)=90 ως εγγεγρ. που βαινει σε διάμετρο άρα ΕΒ κάθετη ΑΕ
ΟΜ κάθετη στην ΑΕ
Επομένως ΟΜ // ΕΒ
αλλά Ο Μέσο ΑΒ οπότε ΟΜ//==ΕΒ/2 η ΕΒ = 2 ΟΜ

Πολύ σωστά!

Στο συνημμένο η λύση της άσκησης.