mathematica.gr

Πρόβλημα 1

Δίνεται το σύνολο . Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του .

Πρόβλημα 2

Έστω και τρεις θετικοί πραγματικοί αριθμοί που ικανοποιούν τις εξισώσεις και . Τότε , όπου και θετικοί ακέραιοι, σχετικά πρώτοι μεταξύ τους. Να βρεθεί το άθροισμα .

Πρόβλημα 3

Δίνεται τετράγωνο πλευράς . Πάνω στις πλευρές και παίρνουμε σημεία και , τέτοια ώστε . Τα ευθύγραμμα τμήματα και τέμνονται στο σημείο . Αν η ευθεία τέμνει την ευθεία στο σημείο , τότε:

(α) να αποδείξετε ότι

(β) να υπολογίσετε το μήκος του συναρτήσει του

Πρόβλημα 4

Ένας μαθητής έχει κομμάτια χαρτιού. Παίρνει μερικά από αυτά και κόβει το καθένα σε κομμάτια. Στη συνέχεια επιλέγει ορισμένα από αυτά τα κομμάτια και κόβει και πάλι το καθένα σε κομμάτια. Συνεχίζει την ίδια διαδικασία αρκετές φορές με τα κομμάτια που έχει κάθε φορά. Είναι δυνατόν σε κάποια φάση της διαδικασίας να έχει συνολικά κομμάτια χαρτιού;

Πρόβλημα 5

Τέσσερεις προδοσφαιρικές ομάδες, οι , πσυμμετέχουν σε ένα τουρνουά. Το κάθε ζευγάρι ομάδων παίζει ακριβώς ένα παιχνίδι, με τον νικητή να παίρνει πόντους και τον ηττημένο να παίρνει πόντους. Αν ένας αγώνας λήξει ισόπαλος, τότε κάθε ομάδα παίρνει πόντο. Ο Γιάννης άκουσε στο ραδιόφωνο ότι:

"Η ομάδα κατέλαβε την τέταρτη θέση. Δεν υπάρχουν δύο ομάδες με τον ίδιο αριθμό πόντων και ο μόνος αγώνας που έληξε ισόπαλος είναι αυτός ανάμεσα στις ομάδες και ."

Ο Γιάννης απογοητεύτηκε, επειδή η ομάδα του δεν αναφέρθηκε καν στο ραδιόφωνο. Να βρείτε τη θέση που κατέλαβε η ομάδα του Γιάννη και τον αριθμό πόντων που πήρε η κάθε ομάδα.

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Δίνεται το σύνολο . Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του .

Το 1ο το έχουμε λύσει εδώ.

Πρόβλημα 4

Ένας μαθητής έχει κομμάτια χαρτιού. Παίρνει μερικά από αυτά και κόβει το καθένα σε κομμάτια. Στη συνέχεια επιλέγει ορισμένα από αυτά τα κομμάτια και κόβει και πάλι το καθένα σε κομμάτια. Συνεχίζει την ίδια διαδικασία αρκετές φορές με τα κομμάτια που έχει κάθε φορά. Είναι δυνατόν σε κάποια φάση της διαδικασίας να έχει συνολικά κομμάτια χαρτιού;

Λοιπόν, έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
Να κόψει αρχικά χαρτί: χαρτιά του μένουν.
Να κόψει αρχικά χαρτιά: χαρτιά του μένουν.
Να κόψει αρχικά χαρτιά: χαρτιά του μένουν.
Να κόψει αρχικά χαρτιά: χαρτιά του μένουν.
Να κόψει αρχικά χαρτιά: χαρτιά του μένουν.
Να κόψει αρχικά χαρτιά: χαρτιά του μένουν.
Να κόψει αρχικά χαρτιά: χαρτιά του μένουν.
Να κόψει αρχικά χαρτιά: χαρτιά του μένουν.
Να κόψει αρχικά και τα χαρτιά: χαρτιά του μένουν.
Παρατηρούμε πως για όλους τους αριθμούς χαρτιών που προκύπτουν ισχύει η παρακάτω ιδιότητα:
Αν αφαιρέσουμε το μεγαλύτερο δυνατό πολλαπλάσιο του και το δεύτερο μεγαλύτερο δυνατό πολλαπλάσιο του από τα σύνολα χαρτιών προκύπτει ΠΑΝΤΑ και αντίστοιχα. Βλέπουμε πως αυτό ισχύει και αν πάρουμε τα αποτελέσματα ,,,,,,,& και συνεχίσουμε την διαδικασία περαιτέρω. Επομένως για να αποτελεί ο αριθμός σύνολο χαρτιών που μπορεί να έχει ο μαθητής θα πρέπει ο είτε στην εξίσωση είτε στην εξίσωση να είναι πολλαπλάσιο του . Από την παίρνουμε ως το και από την το , κανένα από τα οποία δεν είναι πολλαπλάσιο του . Συνεπώς, δεν γίνεται σε καμία φάση της διαδικασίας να προκύψουν χαρτάκια. (Όμως αν ο δεδομένως αριθμός της εκφώνησης ήταν π.χ ο τότε θα ήταν ορθός.)

Θα ήθελα να ρωτήσω για το πρόβλημα με τις ποδοσφαιρικές ομάδες. Καταρχάς, λέει πως τελευταία βγήκε η ομάδα και πως η ομάδα του Γιάννη δεν αναφέρθηκε. Πώς γίνεται αυτό, αφού κανονικά αναφέρονται μόνο οι εις πρώτοι και όχι ο ος;
Επιπλέον, υπάρχει μόνο μία λύση ή πολλές, γιατί εγώ έχω βρει μία λύση με δοκιμές, αλλά δεν ξέρω αν είναι η μοναδική.

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 4

Ένας μαθητής έχει κομμάτια χαρτιού. Παίρνει μερικά από αυτά και κόβει το καθένα σε κομμάτια. Στη συνέχεια επιλέγει ορισμένα από αυτά τα κομμάτια και κόβει και πάλι το καθένα σε κομμάτια. Συνεχίζει την ίδια διαδικασία αρκετές φορές με τα κομμάτια που έχει κάθε φορά. Είναι δυνατόν σε κάποια φάση της διαδικασίας να έχει συνολικά κομμάτια χαρτιού;

Δόθηκε λύση παραπάνω αλλά επειδή είναι προβληματική και επειδή μας διαβάζουν μαθητές, καλό είναι να μπει μία τάξη. Έτσι και αλλιώς το πρόβλημα είναι απλό, οπότε δεν υπάρχει λόγος να φοβίζουμε τους μαθητές μας με περίπλοκες λύσεις ή "λύσεις".

Λύση: Παρατηρούμε ότι σε κάθε βήμα τα χαρτάκια αυξάνουν κατά . Άρα σε κάθε στάδιο το σύνολό τους θα είναι αριθμός της μορφής . Όμως δεν υπάρχει ακέραιος με (η δεν έχει ακέραια λύση αφού το δεν είναι πολλαπλάσιο του ). Τελειώσαμε.

Mihalis_Lambrou έγραψε:

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 4

Ένας μαθητής έχει κομμάτια χαρτιού. Παίρνει μερικά από αυτά και κόβει το καθένα σε κομμάτια. Στη συνέχεια επιλέγει ορισμένα από αυτά τα κομμάτια και κόβει και πάλι το καθένα σε κομμάτια. Συνεχίζει την ίδια διαδικασία αρκετές φορές με τα κομμάτια που έχει κάθε φορά. Είναι δυνατόν σε κάποια φάση της διαδικασίας να έχει συνολικά κομμάτια χαρτιού;

Δόθηκε λύση παραπάνω αλλά επειδή είναι προβληματική και επειδή μας διαβάζουν μαθητές, καλό είναι να μπει μία τάξη. Έτσι και αλλιώς το πρόβλημα είναι απλό, οπότε δεν υπάρχει λόγος να φοβίζουμε τους μαθητές μας με περίπλοκες λύσεις ή "λύσεις".

Λύση: Παρατηρούμε ότι σε κάθε βήμα τα χαρτάκια αυξάνουν κατά . Άρα σε κάθε στάδιο το σύνολό τους θα είναι αριθμός της μορφής . Όμως δεν υπάρχει ακέραιος με (η δεν έχει ακέραια λύση αφού το δεν είναι πολλαπλάσιο του ). Τελειώσαμε.

Δηλαδή και αυτή η απάντηση που έδωσα ήταν λανθασμένη;

Eυ. N. έγραψε:Πώς γίνεται αυτό, αφού κανονικά αναφέρονται μόνο οι εις πρώτοι και όχι ο ος;

Έλεος πια.

Πρόβλημα 5

Τέσσερεις προδοσφαιρικές ομάδες, οι , πσυμμετέχουν σε ένα τουρνουά. Το κάθε ζευγάρι ομάδων παίζει ακριβώς ένα παιχνίδι, με τον νικητή να παίρνει πόντους και τον ηττημένο να παίρνει πόντους. Αν ένας αγώνας λήξει ισόπαλος, τότε κάθε ομάδα παίρνει πόντο. Ο Γιάννης άκουσε στο ραδιόφωνο ότι:

"Η ομάδα κατέλαβε την τέταρτη θέση. Δεν υπάρχουν δύο ομάδες με τον ίδιο αριθμό πόντων και ο μόνος αγώνας που έληξε ισόπαλος είναι αυτός ανάμεσα στις ομάδες και ."

Ο Γιάννης απογοητεύτηκε, επειδή η ομάδα του δεν αναφέρθηκε καν στο ραδιόφωνο. Να βρείτε τη θέση που κατέλαβε η ομάδα του Γιάννη και τον αριθμό πόντων που πήρε η κάθε ομάδα.


Οι αγώνες μεταξύ των ομάδων ήταν οι εξής:
, , , , , , . Με δοκιμές παρατηρούμε αρχικά ότι η ομάδα δεν μπορεί να πήρε κανέναν πόντο, καθώς σε περίπτωση που ισχύει κάτι τέτοιο είτε προκύπτει ισοψηφία στην τελική βαθμολογία μεταξύ δύο ομάδων , είτε βγαίνει μια ομάδα χαμηλότερα ή ίσα της (άτοπο αφού από τα δεδομένα της εκφώνησης η κατέλαβε την τελευταία θέση).Επομένως, η πήρε πόντους, έχασε δηλαδή από όλες τις άλλες ομάδες. Έτσι, έχουμε:
: & (από τα δεδομένα της εκφώνησης)
: &
: &
: &
Η συνολική βαθμολογία μέχρι στιγμής είναι:
:
:
:
:
Έχουμε ισοβαθμία μεταξύ των και , συνεπώς αφού στο τέλος δεν είχαμε ισοβαθμία, έπεται ότι η μία ομάδα θα έχασε από την και η άλλη θα κέρδισε την .
Έτσι διακρίνουμε τις εξής δύο περιπτώσεις:
Α. : &
: &
Όπότε η τελική βαθμολογία διαμορφώνεται ως εξής από τα έξι συνολικά παιχνίδα που διεξήχθησαν:
:
:
:
:
Και η κατάταξη είναι:
,,, (που πληροί τις προϋποθέσεις της εκφώνησης)
Β.: &
: &
Όπότε η τελική βαθμολογία διαμορφώνεται ως εξής από τα έξι συνολικά παιχνίδα που διεξήχθησαν:
:
:
:
:
Και η κατάταξη είναι:
,,, (που πληροί και αυτή τις προϋποθέσεις της εκφώνησης)
Καθώς στο τουρνουά συμμετέχουν μόνο οι προαναφερθείσες ομάδες και στο ραδιόφωνο αναφέρθηκαν μόνο οι , η ομάδα του Γιάννη είναι η που πήρε την δεύτερη θέση.
(Γίνεται αντιληπτό ότι κάθε ομάδα έπαιξε αγώνες)

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 5

Τέσσερεις προδοσφαιρικές ομάδες, οι , πσυμμετέχουν σε ένα τουρνουά. Το κάθε ζευγάρι ομάδων παίζει ακριβώς ένα παιχνίδι, με τον νικητή να παίρνει πόντους και τον ηττημένο να παίρνει πόντους. Αν ένας αγώνας λήξει ισόπαλος, τότε κάθε ομάδα παίρνει πόντο. Ο Γιάννης άκουσε στο ραδιόφωνο ότι:

"Η ομάδα κατέλαβε την τέταρτη θέση. Δεν υπάρχουν δύο ομάδες με τον ίδιο αριθμό πόντων και ο μόνος αγώνας που έληξε ισόπαλος είναι αυτός ανάμεσα στις ομάδες και ."

Ο Γιάννης απογοητεύτηκε, επειδή η ομάδα του δεν αναφέρθηκε καν στο ραδιόφωνο. Να βρείτε τη θέση που κατέλαβε η ομάδα του Γιάννη και τον αριθμό πόντων που πήρε η κάθε ομάδα.

Την άφησα για να την λύσουν μαθητές, οπότε τώρα μπορώ να βάλω λύση.

Ας σημειώσω όμως ότι το βήμα

Ευ.Ν. έγραψε: Με δοκιμές παρατηρούμε αρχικά ότι η ομάδα D δεν μπορεί να πήρε κανέναν πόντο, καθώς σε περίπτωση που ισχύει κάτι τέτοιο είτε προκύπτει ισοψηφία στην τελική βαθμολογία μεταξύ δύο ομάδων , είτε βγαίνει μια ομάδα χαμηλότερα ή ίσα της D

αν και σωστό, χρειάζεται τεκμηρίωση (είναι ουσιαστικό μέρος της λύσης, όχι λιγότερο από να αναγραφέντα).

Στο θέμα μας:

Κάθε ομάδα έπαιξε αγώνες και άρα έχει το πολύ πόντους. Το σύνολο των πόντων στους συνολικά αγώνες είναι (ακριβώς) (διότι έχουμε ή πόντους ανά αγώνα). Λόγω της μοναδικής ισοπαλίας, οι έχουν περιττό πλήθος πόντων, ενώ οι άρτιο.

Ο δεν μπορεί να έχει πόντους γιατί το σύνολο των πόντων θα ήταν . Άρα ο (άρτιος) έχει πόντους. Έπεται ότι οι υπόλοιποι έχουν τουλάχιστον πόντους έκαστος (αφού κέρδισαν τον ). Άρα οι (περιττοί) έχουν και πόντους (με κάποια σειρά). Άρα ο έχει πόντους και ήλθε δεύτερος (μεταξύ των που έχουν και πόντους). Τελειώσαμε.