mathematica.gr

Αγαπητοί φίλοι,
την παρακάτω άσκηση Γεωμετρίας κατασκεύασα ως μαθητής γυμνασίου το 1950. Την πρότεινα στο περιοδικό «Μαθηματική Ηχώ», με δική μου απόδειξη και δημοσιεύθηκε με απόδειξη άλλου μαθητή (πάντως όχι του φίλου Α. Κυριακόπουλου, που τότε ήταν πολύ δραστήριος). Πρόκειται για την πρώτη μου άσκηση που δημοσιεύθηκε:

«Δίνονται δύο κύκλοι εφαπτόμενοι εξωτερικά στο σημείο Α και κοινή τέμνουσα τούτων ΒΑΓ. Αν Δ και Ε είναι τα μέσα των δύο τόξων των δύο κύκλων, τα οποία αφήνει η ΒΑΓ στο ίδιο μέρος της, Η είναι το μέσον της ΔΕ και Ζ το συμμετρικό του Α ως προς το Η, να δειχθεί ότι το Ζ είναι σημείο της μεσοκάθετης του τμήματος ΒΓ».

Φιλικά.
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητή Φωτεινή,
πάρα πολύ ωραία έχεις προχωρήσει στην απόδειξή σου και έχεις καταλήξει σε πολύ σωστές διαπιστώσεις, όμως από ότι φαίνεται, έχεις παραλείψει να αντιγράψεις από το πρόχειρό σου ένα μέρος της απόδειξής σου και έγραψες κατευθείαν το συμπέρασμα. (Δες το πρόχειρό σου και κάνε τη σχετική συμπλήρωση της απόδειξής σου. Ο ωραίος τρόπος που έχεις ακολουθήσει, συμπίπτει με τον τρόπο του μαθητή που αναφέρω παραπάνω).

Φιλικά.
Νίκος Κυριαζής.

Νίκο δεν αποκλείεται αυτός ο μαθητής (του 1950) να είναι η Φωτεινή !!!

Φωτεινή έγραψε:

Mihalis_Lambrou έγραψε: Το σωστό είναι
... είναι γνωστό σε όλους τους πτυχιούχους μαθηματικούς άνω των ... <delete>
M.

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Μιχάλη,
Προφανώς εννοεί άνω των 39, όπως είμαστε εμείς.
Ανδρέας

... Σπύρο...δεν το περνάω ...το μάθημα ...λόγω ηλικίας...(μάλλον χρειάζομαι φροντιστήριο... )

Νομίζω ότι πρέπει να κρυφτώ γιατί θα ακούσω πολλά αυτή την φορά!!

Φωτεινούλα ξέρεις πόσο σε συμπαθώ γι' αυτό σε πειράζω!!

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητή Φωτεινή, (Δες το πρόχειρό σου και κάνε τη σχετική συμπλήρωση της απόδειξής σου. Ο ωραίος τρόπος που έχεις ακολουθήσει, συμπίπτει με τον τρόπο του μαθητή που αναφέρω παραπάνω).

Νίκο συμπλήρωσα την απάντησή μου,πιστεύω να είναι εντάξει τώρα

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Νίκο δεν αποκλείεται αυτός ο μαθητής (του 1950) να είναι η Φωτεινή !!!

και βέβαια ... είμαι εγώ Μάκη...!!!

βρήκα το τετράδιο που είχα τότε και την αντέγραψα...

Φωτεινή έγραψε:

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Νίκο δεν αποκλείεται αυτός ο μαθητής (του 1950) να είναι η Φωτεινή !!!

και βέβαια ... είμαι εγώ Μάκη...!!!

βρήκα το τετράδιο που είχα τότε και την αντέγραψα...

χαχαχαχαχα καλό Φωτεινή, αλλά μπράβο μνημονικό και μετά λες για εμάς ότι θυμόμαστε!!

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: χαχαχαχαχα καλό Φωτεινή, αλλά μπράβο μνημονικό και μετά λες για εμάς ότι θυμόμαστε!!

θυμάμαι και ...άλλα όμως !!! όπως ....καθόσουνα στο διπλανό θρανίο... ...

(έτσι για να λέμε όλοι την ηλικία μας...)

Μία ακόμη προσέγγιση στο συνημμένο Π.Γ

Νίκο συμπλήρωσα την απάντησή μου,πιστεύω να είναι εντάξει τώρα

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Νίκο δεν αποκλείεται αυτός ο μαθητής (του 1950) να είναι η Φωτεινή !!!

Φωτεινή, πολύ σωστή η λύση σου και σε ευχαριστώ πολύ. Και τώρα, φουλ για την απόδειξη που είχα επιτύχει εγώ το 1950 (προ 60 ετών δηλαδή). Όσο για τα παιδάκια!!!... που δεν αφήνουν κανέναν άνθρωπο να μεγαλώσει, έχω να τους ειπώ ότι ας αφήσουν το καλαμπούρι και ας λύσουν καμιά ασκησούλα. Ιδού η Ρόδος….


Φιλικά.
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητέ φίλε math_finder,
η απόδειξη σου είναι σωστή και συμπίπτει με τη δική μου του 1950, με μια μικρή διαφορά, στο ότι εγώ χρησιμοποιώ και την κοινή εφαπτόμενη των δύο κύκλων, που διευκολύνει πολύ την απόδειξη. Ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου και την απόδειξή σου. Την άσκησή μου αυτή, όπως και την κοινή απόδειξή μας αφιερώνω προσωπικά σε σένα, καθώς είσαι ο πρώτος που την επινόησε (την απόδειξη αυτή) μετά από μένα.
Για την άσκηση αυτή έχω να πω ότι μετά από μελέτη, επέτυχα τέσσερις επεκτάσεις της και όχι μόνο.
Σύμφωνα με την πρώτη επέκταση, «η αρχική άσκηση αληθεύει και όταν οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά».
Σύμφωνα με την δεύτερη επέκταση, «η αρχική άσκηση αληθεύει και όταν οι κύκλοι τέμνονται και που τότε το σημείο Α, συμπίπτει με το ένα σημείο τομής των δύο κύκλων».
Σύμφωνα με την τρίτη επέκταση, «αν ν κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά και τέμνονται από ευθεία που περνά από το σημείο επαφής τους, τότε τα μέσα των τόξων όλων των κύκλων, που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της τέμνουσας, είναι συνευθειακά».
Σύμφωνα με την τέταρτη επέκταση, «ζητείται ο γ.τ. της προβολής του σημείου Ζ στην ΒΑΓ, της αρχικής άσκησης, όταν η ΒΑΓ, περιστρέφεται στο Α».
Για τις παραπάνω τέσσερις επεκτάσεις, αν κάποιος φίλος επιθυμεί, μπορεί να μας στείλει σχετικές αποδείξεις. Εμείς θα αναμένουμε.
Η αρχική άσκηση, αλλά και οι τέσσερις παραπάνω επεκτάσεις , έχουν καταχωρηθεί στον τόμο 1 (1995), του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», παράγραφοι 1α(36), 1α(36), 1α(63), 1α(50), 1α(48), αντίστοιχα.


Φιλικά.
Νίκος Κυριαζής.

Λόγω παρανόησης και παρεξήγησης σβήνω το κείμενό μου, αφού δόθηκαν και οι απαραίτητες εξηγήσεις...

Μετά από τις σχετικές διευκρινίσεις, η παρεξήγηση έχει πάρει τέλος.

Νίκος Κυριαζής