mathematica.gr • Σχέσεις τμημάτων

Σελίδα 1 από 1

Σχέσεις τμημάτων

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Απρ 20, 2017 11:08 am

από KARKAR

: Σχέσεις τμημάτων.png (12.44 KiB) Προβλήθηκε 737 φορές

Τα σημεία O,K

O,K

τριχοτομούν το τμήμα

, ενώ

είναι το μέσο του . Από σημείο

του

ημικυκλίου διαμέτρου

, φέρω την

, η οποία τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο σημείο

. Η

τέμνει το τελευταίο ημικύκλιο ( και ) στο σημείο

.

Φέρω και $PP',TT'\perp AB$ . Δείξτε ότι : α) : QA=2QM

QA=2QM

....β) :

PP'=TT'

Re: Σχέσεις τμημάτων

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Απρ 20, 2017 12:54 pm

από Διονύσιος Αδαμόπουλος

a) Θα αποδείξουμε πως (A, M, O, B)=-1

(A, M, O, B)=-1

.

Πράγματι $\dfrac{AO}{AB}=\dfrac{MO}{MB}=\dfrac{1}{3}$

Άρα ο κύκλος με διάμετρο

είναι ο Απολλώνιος και ο λόγος $\dfrac{AQ}{QM}$ είναι σταθερός, για όλα τα

που ανήκουν στον κύκλο με διάμετρο

.

Αφού $\dfrac{AO}{OM}=2$ , θα είναι $\dfrac{AQ}{QM}=2$ .

Re: Σχέσεις τμημάτων

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μάιος 06, 2017 9:31 am

από Apostolos Manoloudis

Σχηματίζω τους κύκλους (Ο,ΟΑ)

(Ο,ΟΑ)

και

(K,KO)

.

Τότε τα σημεία N, N'

N, N'

και

Q,C

είναι συμμετρικά ως προς το

. Άρα το

QNCN'

είναι παραλληλόγραμμο

οπότε QM = MC

QM = MC

και

QA = QC

και

AQ = QC

(1)

Όμως τα τρίγωνα PDQ

PDQ

και

AQC

είναι όμοια , άρα $\frac{PQ}{QA} = \frac{QD}{QC}$ οπότε λόγω της (1) προκύπτει

ότι QP = QD

QP = QD

.

Επιπλέον QD = DT

QD = DT

$(KD \perp QT)$ , οπότε $\frac{TQ}{QP} = \frac{AQ}{QM}$ , συνεπώς PT // AM

PT // AM

,

άρα και PT // P'T'

PT // P'T'

, δηλαδή το PTT'P'

PTT'P'

είναι ορθογώνιο και ισχύει PP' = TT'

PP' = TT'

.

APOSTOLIS 340.ggb: (23.49 KiB) Μεταφορτώθηκε 30 φορές