Σχέσεις τμημάτων

KARKAR · #1

Τα σημεία O,K

τριχοτομούν το τμήμα

, ενώ

είναι το μέσο του . Από σημείο

του

ημικυκλίου διαμέτρου

, φέρω την

, η οποία τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο σημείο

. Η

τέμνει το τελευταίο ημικύκλιο ( και ) στο σημείο

.

Φέρω και $PP',TT'\perp AB$ . Δείξτε ότι : α) : QA=2QM

....β) :

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

a) Θα αποδείξουμε πως (A, M, O, B)=-1

.

Πράγματι $\dfrac{AO}{AB}=\dfrac{MO}{MB}=\dfrac{1}{3}$

Άρα ο κύκλος με διάμετρο

είναι ο Απολλώνιος και ο λόγος $\dfrac{AQ}{QM}$ είναι σταθερός, για όλα τα

που ανήκουν στον κύκλο με διάμετρο

.

Αφού $\dfrac{AO}{OM}=2$ , θα είναι $\dfrac{AQ}{QM}=2$ .

Apostolos Manoloudis · #3

Σχηματίζω τους κύκλους (Ο,ΟΑ)

και

.

Τότε τα σημεία N, N'

και

είναι συμμετρικά ως προς το

. Άρα το

είναι παραλληλόγραμμο

οπότε QM = MC

και

(1)

Όμως τα τρίγωνα PDQ

και

είναι όμοια , άρα $\frac{PQ}{QA} = \frac{QD}{QC}$ οπότε λόγω της (1) προκύπτει

ότι QP = QD

.

Επιπλέον QD = DT

$(KD \perp QT)$ , οπότε $\frac{TQ}{QP} = \frac{AQ}{QM}$ , συνεπώς PT // AM

,

άρα και PT // P'T'

, δηλαδή το PTT'P'

είναι ορθογώνιο και ισχύει PP' = TT'

.