mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 11, 2018 4:09 pm**

Έστω

ένα τρίγωνο με CA = CB

και $\angle ACB = 120^{\circ}$ και έστω

το μέσον της πλευράς

. Έστω

τυχαίο σημείο στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC

και

το σημείο στο τμήμα

για το οποίο QP = 2QC

. Η ευθεία από το

που είναι κάθετη στο

τέμνει την ευθεία

σε ένα μοναδικό σημείο

.

Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας σταθερός κύκλος έτσι ώστε το

να ανήκει στον κύκλο αυτό για όλες τις δυνατές θέσεις του

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 11, 2018 5:20 pm**

Αντιγράφω τη λύση μου από το artofproblemsolving.
Έστω

το συμμετρικό του

ως προς το μέσον

του

.
Το

είναι Ρόμβος, άρα η N'P

είναι κάθετη στην

. Επομένως αρκεί τα

,

να είναι συνευθειακά, που προκύπτει άμεσα από το θεώρημα του Μενελάου στο CRO

με διατέμνουσα την N'QM

. ( Χρησιμοποιούμε ότι CM=MO

,

και

.)

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 11, 2018 6:11 pm**

Demetres έγραψε: Τετ Απρ 11, 2018 4:09 pm Έστω ένα τρίγωνο με και $\angle ACB = 120^{\circ}$ και έστω το μέσον της πλευράς . Έστω τυχαίο σημείο στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και το σημείο στο τμήμα για το οποίο . Η ευθεία από το που είναι κάθετη στο τέμνει την ευθεία σε ένα μοναδικό σημείο .

Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας σταθερός κύκλος έτσι ώστε το να ανήκει στον κύκλο αυτό για όλες τις δυνατές θέσεις του .

Καλή επιτυχία στις ομάδες μας!

Το $\vartriangle ABC$ είναι ισοσκελές ( CA=CB

), άρα $CM \perp AB$ , και αφού $PN \perp AB$ , $PN \parallel CM$ .

Άρα, τα $\vartriangle PNQ, \vartriangle CQM$ είναι όμοια, οπότε PN=2CM

(1). (Έχουμε ότι PQ=2QC

).

Επίσης, $\widehat{COB}=2\widehat{CAB}=60^\circ$ , και αφού OC=OB

, $\vartriangle COB$ ισόπλευρο.

Άρα, $BM \perp CO \Rightarrow MC=MO \Rightarrow CO=2CM$ (2).

Από (1), (2), $NP \parallel = CO$ , δηλαδή το PNCO

είναι παραλληλόγραμμο.

Έτσι, CN=OP=R

, όπου

η σταθερή ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του $\vartriangle ABC$ .

Έτσι, το

ανήκει στον κύκλο (C,R)

, για όλες τις δυνατές θέσεις του

.

: EGMO1.png (24.93 KiB) Προβλήθηκε 1113 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 11, 2018 8:25 pm**

Demetres έγραψε: Τετ Απρ 11, 2018 4:09 pm Έστω ένα τρίγωνο με και $\angle ACB = 120^{\circ}$ και έστω το μέσον της πλευράς . Έστω τυχαίο σημείο στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και το σημείο στο τμήμα για το οποίο . Η ευθεία από το που είναι κάθετη στο τέμνει την ευθεία σε ένα μοναδικό σημείο .

Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας σταθερός κύκλος έτσι ώστε το να ανήκει στον κύκλο αυτό για όλες τις δυνατές θέσεις του .

Μία λύση παρόμοια με του ορέστη απλά μετά από τη σχέση PN=CA=CB

εφαρμόζουμε νόμο ημιτόνων στα CBP

και

παίρνουμε $\frac{sin\angle CBP}{sin\angle CNP}=\frac{sin\angle CPB}{sin\angle PCN}$ και $\frac{CN}{CB}=\frac{sin\angle CBP*sin\angle PCN}{sin\angle CNP*sin\angle CPB}=1$ άρα CN=PN=CA

άρα το

ανήκει στον κύκλο (C,CA)

.

mathematica.gr

EGMO 2018/1

EGMO 2018/1

Re: EGMO 2018/1/1

Re: EGMO 2018/1/1

Re: EGMO 2018/1/1