EGMO 2018/1

[Demetres]

Έστω ένα τρίγωνο με και και έστω το μέσον της πλευράς . Έστω τυχαίο σημείο στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και το σημείο στο τμήμα για το οποίο . Η ευθεία από το που είναι κάθετη στο τέμνει την ευθεία σε ένα μοναδικό σημείο .

Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας σταθερός κύκλος έτσι ώστε το να ανήκει στον κύκλο αυτό για όλες τις δυνατές θέσεις του .

[silouan]

Αντιγράφω τη λύση μου από το artofproblemsolving.
Έστω το συμμετρικό του ως προς το μέσον του .
Το είναι Ρόμβος, άρα η είναι κάθετη στην . Επομένως αρκεί τα
, , να είναι συνευθειακά, που προκύπτει άμεσα από το θεώρημα του Μενελάου στο με διατέμνουσα την . ( Χρησιμοποιούμε ότι , και .)

[Ορέστης Λιγνός]

Έστω ένα τρίγωνο με και και έστω το μέσον της πλευράς . Έστω τυχαίο σημείο στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και το σημείο στο τμήμα για το οποίο . Η ευθεία από το που είναι κάθετη στο τέμνει την ευθεία σε ένα μοναδικό σημείο .

Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας σταθερός κύκλος έτσι ώστε το να ανήκει στον κύκλο αυτό για όλες τις δυνατές θέσεις του .

Καλή επιτυχία στις ομάδες μας!

Το είναι ισοσκελές (), άρα , και αφού , .

Άρα, τα είναι όμοια, οπότε (1). (Έχουμε ότι ).

Επίσης, , και αφού , ισόπλευρο.

Άρα, (2).

Από (1), (2), , δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο.

Έτσι, , όπου η σταθερή ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του .

Έτσι, το ανήκει στον κύκλο , για όλες τις δυνατές θέσεις του .

EGMO1.png (24.93 KiB) Προβλήθηκε 1110 φορές

[sokpanvas]

Έστω ένα τρίγωνο με και και έστω το μέσον της πλευράς . Έστω τυχαίο σημείο στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και το σημείο στο τμήμα για το οποίο . Η ευθεία από το που είναι κάθετη στο τέμνει την ευθεία σε ένα μοναδικό σημείο .

Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας σταθερός κύκλος έτσι ώστε το να ανήκει στον κύκλο αυτό για όλες τις δυνατές θέσεις του .

Μία λύση παρόμοια με του ορέστη απλά μετά από τη σχέση εφαρμόζουμε νόμο ημιτόνων στα και παίρνουμε και άρα άρα το ανήκει στον κύκλο .