mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 30, 2019 4:44 pm**

Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση

συνεχής στο

, παραγωγίσιμη στο $R-\{2\}$ με f'(x)(x-2)-f(x)=0

της οποίας η γραφική παράσταση περνάει από τα σημεία A(1,3),B(3,4)

.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 30, 2019 5:07 pm**

ann79 έγραψε: Τρί Απρ 30, 2019 4:44 pm Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο $R-\{2\}$ με της οποίας η γραφική παράσταση περνάει από τα σημεία .

$\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{l} - 3x + 6,x < 2\\ \\ 4x - 8,x \ge 2 \end{array} \right.$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 30, 2019 6:07 pm**

ann79 έγραψε: Τρί Απρ 30, 2019 4:44 pm Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο $R-\{2\}$ με της οποίας η γραφική παράσταση περνάει από τα σημεία .

Για $x\neq 2$ έχουμε

$f'(x)(x-2)-f(x)=0\Rightarrow f'(x)(x-2)-f(x){(x-2)}'=0\Rightarrow$

$\dfrac{f'(x)(x-2)-f(x){(x-2)}'}{(x-2)^2}=0 \Rightarrow {\left (\dfrac{f(x)}{x-2} \right )}'=0.$

Άρα $\dfrac{f(x)}{x-2}=c_1$ στο $(-\infty,2)$ και $\dfrac{f(x)}{x-2}=c_2$ στο $(2,+\infty)$ .

Επομένως f(x)=c_1x-2c_1

στο $(-\infty,2)$ και f(x)=c_2x-2c_2

στο $(2,+\infty)$ .

Από τα δοσμένα σημεία παίρνουμε c_1=-3

και

. Άρα η συνάρτησή μας είναι η $f(x)=\begin{cases} -3x+6 & \text{ if } x\leq 2 \\ 4x-8& \text{ if } x> 2 \end{cases}$

η οποία εύκολα επαληθεύουμε ότι είναι συνεχής παντού και παραγωγίσιμη για κάθε $x\neq 2.$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 01, 2019 3:04 pm**

ann79 έγραψε: Τρί Απρ 30, 2019 4:44 pm Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο $R-\{2\}$ με της οποίας η γραφική παράσταση περνάει από τα σημεία .

Η σχέση

δείχνει ότι οι εφαπτομένες στην γραφική παράσταση περνάνε

όλες από το (2,0)