mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 07, 2021 1:24 pm**

Το κέντρο του κύκλου του $\displaystyle {\rm{Euler}}$ τριγώνου ABC

είναι σημείο της BC.

Να βρείτε τη διαφορά $|\widehat B-\widehat C|.$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 08, 2021 10:28 pm**

george visvikis έγραψε: Κυρ Φεβ 07, 2021 1:24 pm Το κέντρο του κύκλου του $\displaystyle {\rm{Euler}}$ τριγώνου είναι σημείο της Να βρείτε τη διαφορά $|\widehat B-\widehat C|.$

Κύριε Γιώργο γιατί δεν δίνεται και το σχήμα ;

Φοβάστε μήπως φανεί η απάντηση;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 09, 2021 10:50 am**

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Δευ Φεβ 08, 2021 10:28 pm
george visvikis έγραψε: Κυρ Φεβ 07, 2021 1:24 pm Το κέντρο του κύκλου του $\displaystyle {\rm{Euler}}$ τριγώνου είναι σημείο της Να βρείτε τη διαφορά $|\widehat B-\widehat C|.$
Κύριε Γιώργο γιατί δεν δίνεται και το σχήμα ;

Φοβάστε μήπως φανεί η απάντηση;

Ας μην τα δίνουμε όλα έτοιμα, κύριε Στάθη

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 09, 2021 11:01 am**

george visvikis έγραψε: Κυρ Φεβ 07, 2021 1:24 pm Το κέντρο του κύκλου του $\displaystyle {\rm{Euler}}$ τριγώνου είναι σημείο της Να βρείτε τη διαφορά $|\widehat B-\widehat C|.$

: διαφορά γωνιών.png (24.57 KiB) Προβλήθηκε 937 φορές

Ας είναι

Τα μέσα

των πλευρών BC,CA,AB

και το ίχνος

του ύψους από το

ορίζουν ισοσκελές τραπέζιο .

Ο κύκλος του Euler

θα διέρχεται από τα τέσσερα αυτά σημεία ( και όχι μόνο )

κι αφού θα έχει το κέντρο του στη ευθεία της βάσης

θα έχει διάμετρο την

.

Η ευθεία

θα εφάπτεται του κύκλου αυτού ( έστω

το κέντρο του) στο

συνεπώς :

$\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{C_{}}}$ και άρα $\widehat {{B_{}}} - \widehat {{C_{}}} = 90^\circ$

Παρατήρηση:

Αν η γωνία (ενώ είναι η πιο μεγάλη) είναι οξεία ή ορθή,

τότε η μεγάλη βάση του τραπεζίου θα είναι το τμήμα και αποκλείεται το κέντρο του κύκλου να βρίσκεται στην

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 09, 2021 4:56 pm**

george visvikis έγραψε: Κυρ Φεβ 07, 2021 1:24 pm Το κέντρο του κύκλου του $\displaystyle {\rm{Euler}}$ τριγώνου είναι σημείο της Να βρείτε τη διαφορά $|\widehat B-\widehat C|.$

Καλησπέρα ,

Το σχήμα με παίδεψε ,αλλά με τις πολλές δοκιμές έβλεπα ότι η διαφορά είναι $90^{0}$ και μετά πήγα

στην αποδεικτική διαδικασία .

Έστω $AS\perp BS$ και

το ορθοκεντρο του ABC,SH=AS

είναι γνωστό οτι το σημείο

ανήκει στο κύκλο του Euler

.Αν

με $ME=ES=\dfrac{R}{2},OA=R$ εχω ήδη δυο σημεία απο τον κύκλο του

Euler

Αρκει να βρώ ενα ακόμη σημείο . Είναι $HCL\perp AB,$

$\hat{CAS}=\phi =\hat{CHS},\hat{LCA}=2\phi =\hat{LSA},$ ,λόγω του εγγραψίμου τετραπλευρου

LCSA

$\hat{B}=\hat{\omega }=\hat{KCE},\hat{KCL}=90-\omega -\phi =\hat{KML},\hat{LMC}=\hat{LKC}=\omega +\phi$

Οπότε στο τρίγωνο $BKC,\omega +\phi =2\omega \Leftrightarrow \omega =\phi ,\hat{MLS}=90^{0}$

και το σημείο

ανήκει στο κύκλο του Euler

με $\hat{C}-\hat{B}=90^{0}$