mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 11, 2021 7:45 pm**

Θα μπορούσε να είναι θεώρημα ή λήμμα;

: Σαν θεώρημα.png (9.46 KiB) Προβλήθηκε 1061 φορές

Αν δύο διαδοχικές πλευρές ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου είναι ίσες, τότε το γινόμενο των δύο άλλων

πλευρών είναι ίσο με τη διαφορά τετραγώνων της περιεχομένης διαγωνίου και μιας εκ των ίσων πλευρών.

Δηλαδή στο σχήμα μας ζητείται να αποδειχτεί ότι, $\displaystyle DA \cdot DC = B{D^2} - A{B^2}.$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 11, 2021 7:59 pm**

george visvikis έγραψε: Πέμ Μαρ 11, 2021 7:45 pm Θα μπορούσε να είναι θεώρημα ή λήμμα; Σαν θεώρημα.png
Αν δύο διαδοχικές πλευρές ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου είναι ίσες, τότε το γινόμενο των δύο άλλων

πλευρών είναι ίσο με τη διαφορά τετραγώνων της περιεχομένης διαγωνίου και μιας εκ των ίσων πλευρών.

Δηλαδή στο σχήμα μας ζητείται να αποδειχτεί ότι, $\displaystyle DA \cdot DC = B{D^2} - A{B^2}.$

Ωραίο Γιώργο , αλλά για αρκετά μικρότερο φάκελο ( Α λυκείου καλά θα ήταν με δεδομένο βέβαια ότι η ομοιότητα τριγώνων εχει διδαχθεί στην Γ Γυμνασίου )

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 11, 2021 9:56 pm**

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Πέμ Μαρ 11, 2021 7:59 pm
george visvikis έγραψε: Πέμ Μαρ 11, 2021 7:45 pm Θα μπορούσε να είναι θεώρημα ή λήμμα; Σαν θεώρημα.png
Αν δύο διαδοχικές πλευρές ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου είναι ίσες, τότε το γινόμενο των δύο άλλων

πλευρών είναι ίσο με τη διαφορά τετραγώνων της περιεχομένης διαγωνίου και μιας εκ των ίσων πλευρών.

Δηλαδή στο σχήμα μας ζητείται να αποδειχτεί ότι, $\displaystyle DA \cdot DC = B{D^2} - A{B^2}.$
Ωραίο Γιώργο , αλλά για αρκετά μικρότερο φάκελο ( Α λυκείου καλά θα ήταν με δεδομένο βέβαια ότι η ομοιότητα τριγώνων εχει διδαχθεί στην Γ Γυμνασίου )

Στάθη, το έβαλα σε αυτό το φάκελο με πλήρη συναίσθηση. Το πρόβλημα είναι η έλλειψη φακέλων. Ο συγκεκριμένος

φάκελος καλύπτει ένα ευρύ φάσμα. Από Θαλή Α' Λυκείου έως και Ευκλείδη Γ' Λυκείου. Αν λοιπόν, θεωρήσουμε ότι

βρισκόμαστε σε Θαλή Α' Λυκείου, πιστεύω ότι θα συμφωνήσεις μαζί μου πως είναι ο πλέον κατάλληλος φάκελος, γιατί

απευθύνεται σε μαθητές που τελείωσαν την Γ' Γυμνασίου και έχουν μόλις καλύψει το πρώτο δίμηνο της Α' Λυκείου.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 12, 2021 12:42 am**

george visvikis έγραψε: Πέμ Μαρ 11, 2021 7:45 pm Θα μπορούσε να είναι θεώρημα ή λήμμα; Σαν θεώρημα.png
Αν δύο διαδοχικές πλευρές ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου είναι ίσες, τότε το γινόμενο των δύο άλλων

πλευρών είναι ίσο με τη διαφορά τετραγώνων της περιεχομένης διαγωνίου και μιας εκ των ίσων πλευρών.

Δηλαδή στο σχήμα μας ζητείται να αποδειχτεί ότι, $\displaystyle DA \cdot DC = B{D^2} - A{B^2}.$

: Σαν Θεώρημα.png (28.18 KiB) Προβλήθηκε 968 φορές

Για το $\vartriangle DAC$ ως νότιος πόλος είναι το σημείο

κι έστω

η διάμετρος του περιγεγραμμένου του κύκλου .

Ας είναι ακόμη ,

το μέσο του

και

η προβολή του

στην

. Η προς απόδειξη :

$D{B^2} - A{B^2} = DA \cdot DC \Leftrightarrow 2R \cdot BE - 2R \cdot BM = DA \cdot DC \Leftrightarrow 2R \cdot ME = DA \cdot DC$

Που είναι αληθής . $\left( {bc = 2R{h_a}} \right)$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 12, 2021 1:31 am**

george visvikis έγραψε: Πέμ Μαρ 11, 2021 7:45 pm Θα μπορούσε να είναι θεώρημα ή λήμμα; Σαν θεώρημα.png
Αν δύο διαδοχικές πλευρές ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου είναι ίσες, τότε το γινόμενο των δύο άλλων

πλευρών είναι ίσο με τη διαφορά τετραγώνων της περιεχομένης διαγωνίου και μιας εκ των ίσων πλευρών.

Δηλαδή στο σχήμα μας ζητείται να αποδειχτεί ότι, $\displaystyle DA \cdot DC = B{D^2} - A{B^2}.$

Λόγω ισότητας των πράσινων γωνιών ισχύει AB^2=BK . BD

Έχουμε, $\dfrac{DK}{KB} =\dfrac{(ADC)}{(ABC)}= \dfrac{AD . DC}{AB^2}$ επομένως αρκεί να δείξουμε

ότι $\dfrac{DK}{KB} =\dfrac{BD^2}{AB^2}-1 \Leftrightarrow \dfrac{BD}{KB}= \dfrac{BD^2}{AB^2} \Leftrightarrow AB^2=BK . BD$ που ισχύει

: σαν θεώρημα.png (10.47 KiB) Προβλήθηκε 962 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 12, 2021 1:38 am**

: Σαν Θεώρημα_new.png (18.51 KiB) Προβλήθηκε 960 φορές

$D{E^2} = DA \cdot DC - EA \cdot EC \Leftrightarrow D{E^2} + EA \cdot EC = DA \cdot DC \Leftrightarrow D{E^2} + DE \cdot EB = DA \cdot DC$

Δηλαδή : $\Leftrightarrow DE\left( {DE + EB} \right) = DA \cdot DC \Leftrightarrow DE \cdot DB = DA \cdot DC$ . Οπότε:

$DB\left( {DB - EB} \right) = DA \cdot DC \Leftrightarrow D{B^2} - BE \cdot BD = DA \cdot DC$ .

Αλλά η

εφάπτεται του κύκλου , $\left( {D,A,E} \right)$ και η τελευταία γράφεται : $D{B^2} - B{A^2} = DA \cdot DC$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 12, 2021 10:49 am**

george visvikis έγραψε: Πέμ Μαρ 11, 2021 7:45 pm Θα μπορούσε να είναι θεώρημα ή λήμμα; Σαν θεώρημα.png
Αν δύο διαδοχικές πλευρές ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου είναι ίσες, τότε το γινόμενο των δύο άλλων

πλευρών είναι ίσο με τη διαφορά τετραγώνων της περιεχομένης διαγωνίου και μιας εκ των ίσων πλευρών.

Δηλαδή στο σχήμα μας ζητείται να αποδειχτεί ότι, $\displaystyle DA \cdot DC = B{D^2} - A{B^2}.$

Ο κύκλος