Σαν θεώρημα

#1

Θα μπορούσε να είναι θεώρημα ή λήμμα;

: Σαν θεώρημα.png (9.46 KiB) Προβλήθηκε 1054 φορές

Αν δύο διαδοχικές πλευρές ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου είναι ίσες, τότε το γινόμενο των δύο άλλων

πλευρών είναι ίσο με τη διαφορά τετραγώνων της περιεχομένης διαγωνίου και μιας εκ των ίσων πλευρών.

Δηλαδή στο σχήμα μας ζητείται να αποδειχτεί ότι, $\displaystyle DA \cdot DC = B{D^2} - A{B^2}.$

#2

george visvikis έγραψε: Πέμ Μαρ 11, 2021 7:45 pm Θα μπορούσε να είναι θεώρημα ή λήμμα; Σαν θεώρημα.png
Αν δύο διαδοχικές πλευρές ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου είναι ίσες, τότε το γινόμενο των δύο άλλων

πλευρών είναι ίσο με τη διαφορά τετραγώνων της περιεχομένης διαγωνίου και μιας εκ των ίσων πλευρών.

Δηλαδή στο σχήμα μας ζητείται να αποδειχτεί ότι, $\displaystyle DA \cdot DC = B{D^2} - A{B^2}.$

Ωραίο Γιώργο , αλλά για αρκετά μικρότερο φάκελο ( Α λυκείου καλά θα ήταν με δεδομένο βέβαια ότι η ομοιότητα τριγώνων εχει διδαχθεί στην Γ Γυμνασίου )

#3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Πέμ Μαρ 11, 2021 7:59 pm
george visvikis έγραψε: Πέμ Μαρ 11, 2021 7:45 pm Θα μπορούσε να είναι θεώρημα ή λήμμα; Σαν θεώρημα.png
Αν δύο διαδοχικές πλευρές ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου είναι ίσες, τότε το γινόμενο των δύο άλλων

πλευρών είναι ίσο με τη διαφορά τετραγώνων της περιεχομένης διαγωνίου και μιας εκ των ίσων πλευρών.

Δηλαδή στο σχήμα μας ζητείται να αποδειχτεί ότι, $\displaystyle DA \cdot DC = B{D^2} - A{B^2}.$
Ωραίο Γιώργο , αλλά για αρκετά μικρότερο φάκελο ( Α λυκείου καλά θα ήταν με δεδομένο βέβαια ότι η ομοιότητα τριγώνων εχει διδαχθεί στην Γ Γυμνασίου )

Στάθη, το έβαλα σε αυτό το φάκελο με πλήρη συναίσθηση. Το πρόβλημα είναι η έλλειψη φακέλων. Ο συγκεκριμένος

φάκελος καλύπτει ένα ευρύ φάσμα. Από Θαλή Α' Λυκείου έως και Ευκλείδη Γ' Λυκείου. Αν λοιπόν, θεωρήσουμε ότι

βρισκόμαστε σε Θαλή Α' Λυκείου, πιστεύω ότι θα συμφωνήσεις μαζί μου πως είναι ο πλέον κατάλληλος φάκελος, γιατί

απευθύνεται σε μαθητές που τελείωσαν την Γ' Γυμνασίου και έχουν μόλις καλύψει το πρώτο δίμηνο της Α' Λυκείου.

#4

george visvikis έγραψε: Πέμ Μαρ 11, 2021 7:45 pm Θα μπορούσε να είναι θεώρημα ή λήμμα; Σαν θεώρημα.png
Αν δύο διαδοχικές πλευρές ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου είναι ίσες, τότε το γινόμενο των δύο άλλων

πλευρών είναι ίσο με τη διαφορά τετραγώνων της περιεχομένης διαγωνίου και μιας εκ των ίσων πλευρών.

Δηλαδή στο σχήμα μας ζητείται να αποδειχτεί ότι, $\displaystyle DA \cdot DC = B{D^2} - A{B^2}.$

: Σαν Θεώρημα.png (28.18 KiB) Προβλήθηκε 961 φορές

Για το $\vartriangle DAC$ ως νότιος πόλος είναι το σημείο

κι έστω

η διάμετρος του περιγεγραμμένου του κύκλου .

Ας είναι ακόμη ,

το μέσο του

και

η προβολή του

στην

. Η προς απόδειξη :

$D{B^2} - A{B^2} = DA \cdot DC \Leftrightarrow 2R \cdot BE - 2R \cdot BM = DA \cdot DC \Leftrightarrow 2R \cdot ME = DA \cdot DC$

Που είναι αληθής . $\left( {bc = 2R{h_a}} \right)$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

george visvikis έγραψε: Πέμ Μαρ 11, 2021 7:45 pm Θα μπορούσε να είναι θεώρημα ή λήμμα; Σαν θεώρημα.png
Αν δύο διαδοχικές πλευρές ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου είναι ίσες, τότε το γινόμενο των δύο άλλων

πλευρών είναι ίσο με τη διαφορά τετραγώνων της περιεχομένης διαγωνίου και μιας εκ των ίσων πλευρών.

Δηλαδή στο σχήμα μας ζητείται να αποδειχτεί ότι, $\displaystyle DA \cdot DC = B{D^2} - A{B^2}.$

Λόγω ισότητας των πράσινων γωνιών ισχύει AB^2=BK . BD

Έχουμε, $\dfrac{DK}{KB} =\dfrac{(ADC)}{(ABC)}= \dfrac{AD . DC}{AB^2}$ επομένως αρκεί να δείξουμε

ότι $\dfrac{DK}{KB} =\dfrac{BD^2}{AB^2}-1 \Leftrightarrow \dfrac{BD}{KB}= \dfrac{BD^2}{AB^2} \Leftrightarrow AB^2=BK . BD$ που ισχύει

: σαν θεώρημα.png (10.47 KiB) Προβλήθηκε 955 φορές

#6

: Σαν Θεώρημα_new.png (18.51 KiB) Προβλήθηκε 953 φορές

$D{E^2} = DA \cdot DC - EA \cdot EC \Leftrightarrow D{E^2} + EA \cdot EC = DA \cdot DC \Leftrightarrow D{E^2} + DE \cdot EB = DA \cdot DC$

Δηλαδή : $\Leftrightarrow DE\left( {DE + EB} \right) = DA \cdot DC \Leftrightarrow DE \cdot DB = DA \cdot DC$ . Οπότε:

$DB\left( {DB - EB} \right) = DA \cdot DC \Leftrightarrow D{B^2} - BE \cdot BD = DA \cdot DC$ .

Αλλά η

εφάπτεται του κύκλου , $\left( {D,A,E} \right)$ και η τελευταία γράφεται : $D{B^2} - B{A^2} = DA \cdot DC$

#7

george visvikis έγραψε: Πέμ Μαρ 11, 2021 7:45 pm Θα μπορούσε να είναι θεώρημα ή λήμμα; Σαν θεώρημα.png
Αν δύο διαδοχικές πλευρές ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου είναι ίσες, τότε το γινόμενο των δύο άλλων

πλευρών είναι ίσο με τη διαφορά τετραγώνων της περιεχομένης διαγωνίου και μιας εκ των ίσων πλευρών.

Δηλαδή στο σχήμα μας ζητείται να αποδειχτεί ότι, $\displaystyle DA \cdot DC = B{D^2} - A{B^2}.$

Ο κύκλος

ο οποίος διέρχεται προφανώς και από το

έστω ότι τέμνει την ευθεία

στα σημεία E,F

με

πλησιέστερα στο

. Με ένα εύκολο κυνήγι γωνιών προκύπτει η ομοιότητα των τριγώνων DAE

και

απο όπου προκύπτει και η αναλογία των πλευρών τους που οδηγεί στο ζητούμενο

Σαν θεώρημα

Σαν θεώρημα

Re: Σαν θεώρημα

Re: Σαν θεώρημα

Re: Σαν θεώρημα

Re: Σαν θεώρημα

Re: Σαν θεώρημα

Re: Σαν θεώρημα

Μέλη σε σύνδεση