mathematica.gr

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis έγραψε: Παρ Ιούλ 07, 2023 7:02 am Δύο κύκλοι Euler, δίνουν ορθόκεντρο .png

Σε τρίγωνο ABC ο κύκλος Euler συμπίπτει με τον κύκλο Euler του

τριγώνου BEC, όπου E είναι ένα σημείο του ύψους AD του τριγώνου

ABC. Να δειχθεί ότι το E είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC.

Έστω ο κύκλος του στο , το κέντρο του , περνά δε από τα μέσα των .

Ας είναι και το κέντρο του κύκλου . Είναι γνωστό ότι η ακτίνα του είναι διπλάσια της ακτίνας του κύκλου .

Αν λοιπόν το αντιδιαμετρικό του στον κύκλο το τετράπλευρο, είναι παραλληλόγραμμο .
Το πιο πάνω παραλληλόγραμμο θα μείνει αναλλοίωτο στον κύκλο του για το , ο οποίος διέρχεται αναγκαστικά από τα σημεία : .

Το δε θα είναι το ένα και μόνο μέσο του τμήματος που ανήκει στον .

Έτσι , δηλαδή το είναι το ορθόκεντρο του .

orestisgotsis έγραψε: Παρ Ιούλ 07, 2023 7:02 am Δύο κύκλοι Euler, δίνουν ορθόκεντρο .png

Σε τρίγωνο ABC ο κύκλος Euler συμπίπτει με τον κύκλο Euler του

τριγώνου BEC, όπου E είναι ένα σημείο του ύψους AD του τριγώνου

ABC. Να δειχθεί ότι το E είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC.

Αν το ορθόκεντρο είναι γνωστό (θεώρημα Hamilton) ότι τα τρίγωνα έχουν τον ίδιο κύκλο του Euler. Έστω σημείο του ύψους ώστε τα τρίγωνα να έχουν τον ίδιο κύκλο του Euler. Έστω ακόμα

τα μέσα των αντίστοιχα. Τότε τα είναι ομοκυκλικά κι επειδή

θα είναι και συνευθειακά, που είναι άτοπο. Άρα τα σημεία ταυτίζονται και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

orestisgotsis έγραψε: Παρ Ιούλ 07, 2023 7:02 am Δύο κύκλοι Euler, δίνουν ορθόκεντρο .png

Σε τρίγωνο ABC ο κύκλος Euler συμπίπτει με τον κύκλο Euler του

τριγώνου BEC, όπου E είναι ένα σημείο του ύψους AD του τριγώνου

ABC. Να δειχθεί ότι το E είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC.

Ο κύκλος Euler τριγώνου έχει τη μισή ακτίνα του περίκυκλου του οπότε η ταύτιση των κύκλων Euler των δυο αυτών τριγώνων οδηγεί στην ισότητα των περικυκλων τους άρα στην παραπληρωματικοτητα των γωνιών και με επι του ύψους του τριγώνου προκύπτει οτι αυτο ( μοναδικό σημείο του ύψους ) ειναι το ορθόκεντρο του τριγώνου και το ζητούμενο εχει αποδειχτεί

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Παρ Ιούλ 07, 2023 2:18 pm

orestisgotsis έγραψε: Παρ Ιούλ 07, 2023 7:02 am Δύο κύκλοι Euler, δίνουν ορθόκεντρο .png

Σε τρίγωνο ABC ο κύκλος Euler συμπίπτει με τον κύκλο Euler του

τριγώνου BEC, όπου E είναι ένα σημείο του ύψους AD του τριγώνου

ABC. Να δειχθεί ότι το E είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC.

Ο κύκλος Euler τριγώνου έχει τη μισή ακτίνα του περίκυκλου του οπότε η ταύτιση των κύκλων Euler των δυο αυτών τριγώνων οδηγεί στην ισότητα των περικυκλων τους άρα στην παραπληρωματικοτητα των γωνιών και με επι του ύψους του τριγώνου προκύπτει οτι αυτο ( μοναδικό σημείο του ύψους ) ειναι το ορθόκεντρο του τριγώνου και το ζητούμενο εχει αποδειχτεί

Ωραίο Στάθη

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Παρ Ιούλ 07, 2023 2:18 pm

orestisgotsis έγραψε: Παρ Ιούλ 07, 2023 7:02 am Δύο κύκλοι Euler, δίνουν ορθόκεντρο .png

Σε τρίγωνο ABC ο κύκλος Euler συμπίπτει με τον κύκλο Euler του

τριγώνου BEC, όπου E είναι ένα σημείο του ύψους AD του τριγώνου

ABC. Να δειχθεί ότι το E είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC.

Ο κύκλος Euler τριγώνου έχει τη μισή ακτίνα του περίκυκλου του οπότε η ταύτιση των κύκλων Euler των δυο αυτών τριγώνων οδηγεί στην ισότητα των περικυκλων τους άρα στην παραπληρωματικοτητα των γωνιών και με επι του ύψους του τριγώνου προκύπτει οτι αυτο ( μοναδικό σημείο του ύψους ) ειναι το ορθόκεντρο του τριγώνου και το ζητούμενο εχει αποδειχτεί

Αυτό ακριβώς !