mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 18, 2023 9:41 am**

Αν για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει:

$\sin x+\sin a\geq b\cos x,$

όπου a,b

δοθέντες πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι

b=0

και $a=2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in \mathbb{Z})$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 18, 2023 8:16 pm**

Μπορούμε να βρούμε τιμή του

ώστε $\displaystyle \sin{x} = -\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}$ και $\displaystyle \cos{x} = \frac{b}{\sqrt{b^2+1}}$ . Για αυτό το

παίρνουμε

$\displaystyle -\sqrt{b^2+1} \geqslant -\sin{a}$

που είναι άτοπο εκτός και αν b=0

και $\sin{a} = 1$ . Δηλαδή b=0

και $a = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$

Τριγωνομετρική