mathematica.gr

Καλησπέρα σας θέλω μια βοήθεια γιατί δεν μπορώ να βρω το ιδιοδιάνυσμα στην παρακάτω άσκηση.
Έχω βρει την ιδιοτιμη λ=1

Έστω ένας S ένας τετραγωνικός πίνακας n*n με όλα του τα στοιχεία μη μηδενικά. Το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής είναι ίσα με 1. Να βρείτε μια ιδιοτιμή και ένα ιδιοδιάνυσμα του πίνακα S καθώς και ένα για τον

stelmarg έγραψε: Τετ Ιαν 03, 2024 8:11 pm Καλησπέρα σας θέλω μια βοήθεια γιατί δεν μπορώ να βρω το ιδιοδιάνυσμα στην παρακάτω άσκηση.
Έχω βρει την ιδιοτιμη λ=1

Έστω ένας S ένας τετραγωνικός πίνακας n*n με όλα του τα στοιχεία μη μηδενικά. Το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής είναι ίσα με 1. Να βρείτε μια ιδιοτιμή και ένα ιδιοδιάνυσμα του πίνακα S καθώς και ένα για τον

Θα το κάνω με ισχυρή υπόδειξη.

α) Εξέτασε το διάνυσμα (στήλη με όρους)

β) Για τον . Αν ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή , δείξε ότι το
είναι επίσης ιδιοδυάνυσμα του . Σε ποια ιδιοτιμή αντιστοιχεί;

Ευχαριστώ πολύ κύριε Μιχάλη, το κατάλαβα!!!

Noμιζω οτι για πίνακα με τις ίδιες υποθέσεις ισχύει ότι αν το άθροισμα των γραμμών του είναι ίδιο τότε το άθροισμα είναι ιδιοτιμη.

mick7 έγραψε: Πέμ Ιαν 04, 2024 4:03 pm Noμιζω οτι για πίνακα με τις ίδιες υποθέσεις ισχύει ότι αν το άθροισμα των γραμμών του είναι ίδιο τότε το άθροισμα είναι ιδιοτιμη.

Σωστά. Ας το δούμε: Αν το σταθερό άθροισμα των γραμμών, τότε αμέσως βλέπουμε ότι για το διάνυσμα που έγραψα στο ποστ #2 έχουμε

.

Δηλαδή βρήκαμε συγχρόνως ιδιοτιμή (την ) και ιδιοδιάνυσμα.

Η γενίκευση αυτή είναι a priori αναμενόμενη γιατί αν ένας πίνακας με σταθερό άθροισμα γραμμών ίσο με , τότε ο έχει σταθερό άθροισμα γραμμών ίσο με , οπότε εμπίπτουμε στην προηγούμενη περίπτωση. Τα υπόλοιπα άμεσα από την γραμμικότητα.