stranger έγραψε: Σάβ Ιούλ 13, 2024 3:21 pm
...
Όχι ακριβώς. Αν κατάλαβα καλά τι εννοείτε βέβαια.
Το σημείο αφετηρίας είναι το αξιωματικό σύστημα για τα σύνολα. Μετά δεχόμαστε το αξίωμα του απείρου και μέσω αυτού εξασφαλίσουμε την ύπαρξη συστήματος φυσικών αριθμών. Δηλαδή εξασφαλίσουμε την ύπαρξη μοντέλου των αξιωματων του Peano. Μετά ορίζουμε πρόσθεση πολλαπλασιασμό διάταξη και τα λοιπά. Υπάρχουν πολλοί ισοδυναμοι τρόποι να το κάνει κανείς αυτό και αυτός που περιγράφετε εσείς είναι ένας διαφορετικός ισοδύναμος τρόπος. Αυτό που θέλω να πω είναι ότι
στο τέλος τα ίδια αντικείμενα θα ορίσουμε.
Αυτά που έχω με έντονα είναι τα σημεία που συμφωνώ ή διαφωνώ.
Α) Στα δεύτερα έντονα συμφωνώ. Όποιο σημείο αφετηρίας και αν επιλέξουμε, με λίγο ή πολύ κόπο, είναι δυνατόν να εξασφαλίσουμε ότι οι φυσικοί που θα ορίσουμε είναι οι ίδιοι (:ισόμορφοι).
Β) Στα πρώτα έντονα διαφωνώ. Το σημείο αφετηρίας επιλέγεται ανάλογα με το τι θέλουμε να εκθέσουμε και πόσο τυπικοί θέλουμε να είμαστε. ΔΕΝ είναι απαραίτητο το σημείο αφετηρίας να είναι η αξιωματική συνολοθεωρία ούτε το αξίωμα του απείρου. Όλα εξαρτώνται από το τι επιδιώκει εκείνος που εκθέτει το θέμα. Για να γίνω συγκεκριμένος θα γίνω κουραστικός δίνοντας κάποιες βιβλιογραφικές παραπομπές που σε καμία περίπτωση δεν αποτελούν βιβλιογραφία του θέματος. Απέφυγα να ανατρέξω στον ωκεανό των pdf και χρησιμοποίησα βιβλία που ναι μεν δεν είναι σύγχρονα αλλά μου είναι λίγο ή πολύ γνώριμα:
Προσέγγιση 1η. Ελάχιστη συνολοθεωρία και εισαγωγή αξιωμάτων για τους αριθμούς.
Εκτός από το βιβλίο των Νεγρεπόντη κ.α. (στο οποίο αναφέρθηκα )την εισαγωγή του
μέσω του
την βλέπουμε σε διάφορα βιβλία. Μεταξύ αυτών και στο
Kelley General Topology Van Nostrand-Reinhold 1950.
Αξίζει να σημειωθεί ότι ο Kelley επιλέγει την εισαγωγή των φυσικών χωρίς πολλά-πολλα συνολοθεωρητικά από την σελίδα 20 παρά το γεγονός ότι στο τέλος του βιβλίου έχει ένα προσάρτημα αξιωματικής συνολοθεωρίας 32 σελίδων.
Από την άλλη πάλι με μηδενική συνολοθεωρία έχει αναπτυχθεί επαρκέστατη εισαγωγή στους φυσικούς αριθμούς μέσω των αξωμάτων του Peano στο κλασικό
Landau Foundations of Analysis Chelsea 1951 (αρχική Γερμανική έκδοση 1929).
Το ίδιο γίνεται και στο
Mendelson Number Systems and the Foundations of Analysis Dover 2008 (1985)
Αυτό το αναφέρω για λόγους που θα φανούν πιο κάτω,
Προσέγγιση 2η. Λίγη (αφελής: naive) συνολοθεωρία.
Αυτό γίνεται πολύ ωραία στο κεφάλαιο 11 του πολύ γνωστού
Halmos Αφελής Συνολοθεωρία Μετ. Γ. Κολέτσος ΕΚΚΡΕΜΕΣ, 2002 (αρχική Αγγλική έκδοση 1960)
Εδώ ακολουθείται η προσέγγιση μέσω του αξιώματος του απείρου που υιοθετείται στο μνημονευθέν βιβλίο του Μοσχοβάκη.
Προσέγγιση 3η. Με αξιωματική συνολοθεωρία.
Φυσικά αυτό γίνεται με άμεσο τρόπο στο κεφάλαιο 5 του βιβλίου του Μοσχοβάκη. Το ίδιο γίνεται στο Κεφ. 3 του
Bourbaki Theory of Sets Addison-Wesley 1968
όπου προηγούνται οι πληθικοί αριθμοί και στο κεφ. 5 του
Suppes Axiomatic Set Theory Dover 1972 (1960)
όπου προηγούνται οι διατακτικοί αριθμοί. Και στα δύο παραπάνω χρησιμοποιείται ουσιωδώς το αξίωμα του απείρου.
Προσέγγιση 4η. Μέσω της Μαθηματικής Λογικής.
Αρκετοί συγγραφείς προτάσσουν της αξιωματικής θεωρίας συνόλων την πραγμάτευση των φυσικών αριθμών. Αυτό γίνεται στα κεφάλαια 3 & 4 του
Mendelson Introduction to Mathematical Logic Van Nostrand-Reinhold 1964
και στα κεφάλαια 8 & 9 του
Shoenfield Mathematical Logic Addison-Wesley 1967
Και στα δύο βιβλία οι φυσικοί αριθμοί εισάγονται ως μια πρωτοβάθμια γλώσσα και χρησιμοποιούνται ελεύθερα πριν την εξέταση της αξιωματικής θεωρίας συνόλων/
Βλέποντας διάφορες πηγές θα διαπιστώσουμε ότι η προσέγγιση των φυσικών αριθμών δεν ακολουθεί ένα μονόδρομο. Κεντρικός πυρήνας όλων είναι ότι δεχόμεθα πως υπάρχει ένα σύνολο φυσικών άμεσα ή έμμεσα (ως προϊόν άλλων κατασκευών/παραδοχών) και προχωράμε. Είναι χαρακτηριστικό ότι ο Mendelson σε δύο διαφορετικά βιβλία του υιοθετεί δύο διαφορετικές προσεγγίσεις. Η προσέγγιση του Landau δεν είναι λιγότερο αυστηρή από εκείνη μέσω του αξιώματος του απείρου. Απλώς η πρώτη γίνεται για να κάνουμε θεωρία αριθμών ή ανάλυση ενώ η δεύτερη για να εντάξουμε υπάρχουσες μαθηματικές δομές σε μια ενιαία θεωρία εκείνη των Συνόλων.
Τελειώνοντας θα ήθελα να επιμείνω ότι το ερώτημα που έθεσε ο Χρήστος είναι πρωτίστως ερώτημα πλαισίου και όχι διαδικασίας. Και το πλαίσιο δεν είναι μονοσημάτως ορισμένο.
Αυτά για ένα θέμα που δεν είμαι ειδικός. Παρεμπιπτόντως: τρία από τα λάθη που έχω κάνει σε αναρτήσεις μου στο
είναι στην θεωρία συνόλων
.
και 
από την φύση της κατασκευής αυτών.
ή 
ή 
ή 
όπου τα 
.
;
.
. Αν υπήρχε αριθμός 
ανάμεσα τους τότε θα είχαμε 
.
. Άρα 
. Όμως από υπόθεση 
, αντίφαση.
περιέχει και το 
) υποσύνολο του