Παλιά(;) Μαθηματικά, ξεπερασμένες( ;) θεωρίες... Ένα διδακτικό επεισόδιο.

[chris_gatos]

Ο Σπύρος και ο Χρήστος, οι δύο γνωστοί φίλοι και απόφοιτοι της Σχολής Μπουφιάδη έχουν συχνά πυκνά διάφορα κολλήματα (γνωστικά εμπόδια τα λένε επιστημονικά) και η αγάπη τους για τα μαθηματικά τους οδηγεί σε προσοδοφόρες συζητήσεις με τελική έκβαση την αυτοβελτίωσή τους.
Εκεί που περπατούσαν λοιπόν είπε ο Σπύρος:
-Χρήστο χτες μιλούσα με τον παλιό μαθηματικό τον Γιάννη και με ρώτησε αν υπάρχουν άλλοι ακέραιοι μεταξύ του μηδενός και του ένα.
- Ο Χρήστος γελασε και του απάντησε: Ε, τι να απαντήσεις; Φυσικά και δεν υπάρχουν άλλοι.
-Χμμμ, είπε ο Σπύρος. Το ιδιο του είπα κι εγώ αλλα ο κύριος Γιάννης μου ζήτησε να το αποδείξω!! Έχεις κάτι υπόψη;
- Εεεεεε, χμμμμ, όχι είπε ο Χρηστος.
Μήπως θα μπορούσατε να βοηθήσετε τους δύο φίλους;

[Nikitas K.]

Προσπάθησα να αντιμετωπίσω το πρόβλημα στους φυσικούς αριθμούς και απλά κατέγραψα κάποιες σκέψεις...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Διαλέγοντας οποιοδήποτε αξιωματικό σύστημα π.χ. Πεάνο, Τζον φον Νόιμαν κτλ. Νομίζω ότι δεχόμαστε αξιωματικά πως δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί μεταξύ του και από την φύση της κατασκευής αυτών.

Αν όντως υπάρχει απόδειξη τότε το αξίωμα της επαγωγής του Πεάνο σίγουρα εξασφαλίζει ότι οι φυσικοί όπως τους ξέρουμε είναι το μικρότερο σύνολο που ικανοποιεί τα υπόλοιπα αξιώματα του Πεάνο ενώ τα άλλα σύνολα που ικανοποιούν τα αξιώματα είναι κάτι διαφορετικά από τους φυσικούς αριθμούς. Παρόλα αυτά ακόμα μπερδεμένος είμαι ...

Υπάρχει κάποια αντίφαση εδώ μήπως;
Αν θα πρέπει να θεωρήσω ή ή ή όπου τα .

Ίσως πρέπει να εφαρμόσω επαγωγή στην πρόταση ;

[stranger]

Προσπάθησα να αντιμετωπίσω το πρόβλημα στους φυσικούς αριθμούς και απλά κατέγραψα κάποιες σκέψεις...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Διαλέγοντας οποιοδήποτε αξιωματικό σύστημα π.χ. Πεάνο, Τζον φον Νόιμαν κτλ. Νομίζω ότι δεχόμαστε αξιωματικά πως δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί μεταξύ του και από την φύση της κατασκευής αυτών.

Αν όντως υπάρχει απόδειξη τότε το αξίωμα της επαγωγής του Πεάνο σίγουρα εξασφαλίζει ότι οι φυσικοί όπως τους ξέρουμε είναι το μικρότερο σύνολο που ικανοποιεί τα υπόλοιπα αξιώματα του Πεάνο ενώ τα άλλα σύνολα που ικανοποιούν τα αξιώματα είναι κάτι διαφορετικά από τους φυσικούς αριθμούς. Παρόλα αυτά ακόμα μπερδεμένος είμαι ...

Υπάρχει κάποια αντίφαση εδώ μήπως;
Αν θα πρέπει να θεωρήσω ή ή ή όπου τα .

Ίσως πρέπει να εφαρμόσω επαγωγή στην πρόταση ;

Νικήτα δεν είναι κακό που είσαι μπερδεμένος. Συνέχισε να ψάχνεις.

[stranger]

Ο Σπύρος και ο Χρήστος, οι δύο γνωστοί φίλοι και απόφοιτοι της Σχολής Μπουφιάδη έχουν συχνά πυκνά διάφορα κολλήματα (γνωστικά εμπόδια τα λένε επιστημονικά) και η αγάπη τους για τα μαθηματικά τους οδηγεί σε προσοδοφόρες συζητήσεις με τελική έκβαση την αυτοβελτίωσή τους.
Εκεί που περπατούσαν λοιπόν είπε ο Σπύρος:
-Χρήστο χτες μιλούσα με τον παλιό μαθηματικό τον Γιάννη και με ρώτησε αν υπάρχουν άλλοι ακέραιοι μεταξύ του μηδενός και του ένα.
- Ο Χρήστος γελασε και του απάντησε: Ε, τι να απαντήσεις; Φυσικά και δεν υπάρχουν άλλοι.
-Χμμμ, είπε ο Σπύρος. Το ιδιο του είπα κι εγώ αλλα ο κύριος Γιάννης μου ζήτησε να το αποδείξω!! Έχεις κάτι υπόψη;
- Εεεεεε, χμμμμ, όχι είπε ο Χρηστος.
Μήπως θα μπορούσατε να βοηθήσετε τους δύο φίλους;

Υπάρχει μια διαφορά της απόλυτα αξιωματικής θεμελίωσης και της καθημερινής εφαρμογής των μαθηματικών.
Όπως το βλέπω εγώ χρειάζονται και τα δυο. Ο σωστός τρόπος να κάνεις μαθηματικά δεν είναι να τα κάνεις όλα formal.
Γιατί τότε δεν θα καταλάβει κανείς τίποτα. Ο σωστός τρόπος είναι οι αποδείξεις να είναι λίγο πιο informal όμως παρόλαυτα να ξέρεις πως γράφονται σε απόλυτα formal μορφή.

[stranger]

Επί του θέματος τώρα.
Παραπέμπω στο Λήμμα 5.20 στο βιβλίο Σημειώσεις στην Συνολοθεωρία του Γιάννη Μοσχοβάκη.
Λέει .
Εξορισμού . Αν υπήρχε αριθμός ανάμεσα τους τότε θα είχαμε .
Από υπόθεση . Άρα . Όμως από υπόθεση , αντίφαση.
edit: Για να αποδείξεις όμως το λήμμα που χρησιμοποίησα πρέπει πρώτα να δεχθείς το αξίωμα του απείρου μετά να ορίσεις τους φυσικούς αριθμούς μετά να ορίσεις την πρόσθεση και την διάταξή τους. Όταν τα κάνεις όλα αυτά όλα τα υπόλοιπα είναι εύκολα.
Δεν θα τα γράψω εδώ όλα αυτά. Όποιος ενδιαφέρεται τον παραπέμπω στο συγκεκριμένο βιβλίο.

[S.E.Louridas]

Ο Σπύρος και ο Χρήστος, οι δύο γνωστοί φίλοι και απόφοιτοι της Σχολής Μπουφιάδη έχουν συχνά πυκνά διάφορα κολλήματα (γνωστικά εμπόδια τα λένε επιστημονικά) και η αγάπη τους για τα μαθηματικά τους οδηγεί σε προσοδοφόρες συζητήσεις με τελική έκβαση την αυτοβελτίωσή τους.
Εκεί που περπατούσαν λοιπόν είπε ο Σπύρος:
-Χρήστο χτες μιλούσα με τον παλιό μαθηματικό τον Γιάννη και με ρώτησε αν υπάρχουν άλλοι ακέραιοι μεταξύ του μηδενός και του ένα.
- Ο Χρήστος γελασε και του απάντησε: Ε, τι να απαντήσεις; Φυσικά και δεν υπάρχουν άλλοι.
-Χμμμ, είπε ο Σπύρος. Το ιδιο του είπα κι εγώ αλλα ο κύριος Γιάννης μου ζήτησε να το αποδείξω!! Έχεις κάτι υπόψη;
- Εεεεεε, χμμμμ, όχι είπε ο Χρηστος.
Μήπως θα μπορούσατε να βοηθήσετε τους δύο φίλους;

Πολύ σημαντική η στόχευση του Χρήστου για τη διδασκαλία της κατανόησης μίας Αρχικής, Βασικής έννοιας εκείνης του ΕΝΑ στο επίπεδο της εκεί κουβέντας μεταξύ των δύο φίλων.
Επιτρέψτε μου να ξεφύγω για λίγο από τις έννοιες: Διακριτικό σύνολο, φυσικό σύνολο του Peano, κτλ., κτλ. ... και να μιλήσω για έναν άλλο διάλογο μεταξύ δύο συγχωριανών: Ρε συ πατριώτη που σε έστειλε ο πατέρας σου και σπούδασες και ήρθες να μας επισκεφτείς, σκεφτόμουν χτες τι λογιά πράγματα είναι αυτοί οι αριθμοί; (προφανώς και χωρίς ίσως να το καταλάβει ζητούσε να του πει ο συνδαιτημόνας του τον ορισμό του φυσικού αριθμού .........). Αυτά δεν απαντώνται τόσο εύκολα και θα πρέπει εμείς οι "διδάσκοντες περί τα Μαθηματικά" πριν απαντήσουμε να αναβιώσουμε την αρχική δική μας διαδρομή προσπάθειας κατανόησης στην αντίστοιχη όμως χρονική στιγμή και όχι μετά από ενδεχόμενες ειδικευμένες σπουδές. Όσο με αφορά δηλώνω ότι απολύτως μέσα μου δεν αισθάνομαι απόλυτα ευχαριστημένος για την 100% αυστηρή κατανόηση της έννοιας Φυσικός αριθμός, απλά αισθάνομαι βελτίωση στην αρχική διαισθητική μου αντίληψη, όταν ήρθα σε επαφή με την έννοια αυτή. Στη συνέχεια αυτό με βοήθησε να εισέρθω πχ, σε έναν ορισμό εκκίνησης όπως: Καλούμε φυσικό σύνολο κάθε διακριτικό σύνολο διάφορο του κενού χωρίς τελευταίο στοιχείο (μία γραμμή με ένα κάρο όμως λέξεις κλειδιά) για να ανοίξουν οι ασκοί της θεμελίωσης. Άρα εγώ θα του απαντούσα με βάση την τότε δική μου αντίληψη: Βλέπεις ΤΟ δένδρο απέναντι και το αναφέρεις ως ΕΝΑ δένδρο ή βλέπεις ΤΟ άλογο που περνά, το αναφέρεις ως ΕΝΑ άλογο κτλ., ... ως έχει. Αυτό σημαίνει ότι κάθε αποτέλεσμα που προκύπτει από τον τεμαχισμό του ΕΝΑ σημαίνει δημιουργία μικρότερου από το ΕΝΑ (δένδρο, άλογο κτλ.) μετά από τον "τεμαχισμό" του. Τώρα στην προσπάθεια κατανόησης της έννοιας φυσικός αριθμός μπορούμε να επιστρατεύσουμε την έκφραση του μέσω, Μεγέθους, Σειράς, Πλήθους κτλ.

[nsmavrogiannis]

...
μου ζήτησε να το αποδείξω!! Έχεις κάτι υπόψη;
...

Γεια σας.
Χρήστο και λοιποί φίλοι, νομίζω ότι η φράση του διαλόγου που έχω απομονώσει είναι βασική για κάθε περαιτέρω συζήτηση.
Διότι αυτόματα τίθεται το ερώτημα.
"Να αποδειχθεί αλλά με βάση ποια αξιώματα και ποιους ορισμούς:"
Α) Αν ορίσουμε το με αφετηρία τα αξιώματα του Peano τότε θα χρειαστεί να ορίσουμε πράξεις και διάταξη όπως γίνεται στην παραπομπή

...
Παραπέμπω στο Λήμμα 5.20 στο βιβλίο Σημειώσεις στην Συνολοθεωρία του Γιάννη Μοσχοβάκη.
...

και να κινηθούμε ανάλογα.
B Αν ορίσουμε το μέσω των αξιωμάτων του ως το ελάχιστο επαγωγικό (: εκίνο που περιέχει το και αν περιέχει το περιέχει και το ) υποσύνολο του όπως γίνεται στο
Νεγρεπόντης, Γιωτόπουλος, Γιαννακούλιας, Απειροστικός Λογισμός Τόμος Ι, Συμμετρία 1987
στο κεφάλαιο 2 τότε η απόδειξη μπορεί να γίνει διαφορετικά (Ενδεικτικά: Να υποθεσουμε ότι μεταξύ των , υπάρχει φυσικός και να καταλήξουμε σε άτοπο δείχνοντας ότι τοσύνολο των φυσικών δεν είναι το ελάχιστο επαγωικό σύνολο του ).
Αυτά για τους δύο συνήθεις ορισμούς των φυσικών. Για κάθε άλλο η απόδειξη αναπόφευκτα θα αλλάζει.

[S.E.Louridas]

Απλά επιτρέψτε μου με την ευκαιρία:
https://hellanicus.lib.aegean.gr/handle/11610/21858

[stranger]

...
μου ζήτησε να το αποδείξω!! Έχεις κάτι υπόψη;
...

Γεια σας.
Χρήστο και λοιποί φίλοι, νομίζω ότι η φράση του διαλόγου που έχω απομονώσει είναι βασική για κάθε περαιτέρω συζήτηση.
Διότι αυτόματα τίθεται το ερώτημα.
"Να αποδειχθεί αλλά με βάση ποια αξιώματα και ποιους ορισμούς:"
Α) Αν ορίσουμε το με αφετηρία τα αξιώματα του Peano τότε θα χρειαστεί να ορίσουμε πράξεις και διάταξη όπως γίνεται στην παραπομπή

...
Παραπέμπω στο Λήμμα 5.20 στο βιβλίο Σημειώσεις στην Συνολοθεωρία του Γιάννη Μοσχοβάκη.
...

και να κινηθούμε ανάλογα.
B Αν ορίσουμε το μέσω των αξιωμάτων του ως το ελάχιστο επαγωγικό (: εκίνο που περιέχει το και αν περιέχει το περιέχει και το ) υποσύνολο του όπως γίνεται στο
Νεγρεπόντης, Γιωτόπουλος, Γιαννακούλιας, Απειροστικός Λογισμός Τόμος Ι, Συμμετρία 1987
στο κεφάλαιο 2 τότε η απόδειξη μπορεί να γίνει διαφορετικά (Ενδεικτικά: Να υποθεσουμε ότι μεταξύ των , υπάρχει φυσικός και να καταλήξουμε σε άτοπο δείχνοντας ότι τοσύνολο των φυσικών δεν είναι το ελάχιστο επαγωικό σύνολο του ).
Αυτά για τους δύο συνήθεις ορισμούς των φυσικών. Για κάθε άλλο η απόδειξη αναπόφευκτα θα αλλάζει.

Όχι ακριβώς. Αν κατάλαβα καλά τι εννοείτε βέβαια. Το σημείο αφετηρίας είναι το αξιωματικό σύστημα για τα σύνολα. Μετά δεχόμαστε το αξίωμα του απείρου και μέσω αυτού εξασφαλίσουμε την ύπαρξη συστήματος φυσικών αριθμών.Δηλαδή εξασφαλίσουμε την ύπαρξη μοντέλου των αξιωματων του Peano. Μετά ορίζουμε πρόσθεση πολλαπλασιασμό διάταξη και τα λοιπά. Υπάρχουν πολλοί ισοδυναμοι τρόποι να το κάνει κανείς αυτό και αυτός που περιγράφετε εσείς είναι ένας διαφορετικός ισοδύναμος τρόπος. Αυτό που θέλω να πω είναι ότι στο τέλος τα ίδια αντικείμενα θα ορίσουμε.

[Christos.N]

https://math.stackexchange.com/question ... en-0-and-1

[nsmavrogiannis]

...

Όχι ακριβώς. Αν κατάλαβα καλά τι εννοείτε βέβαια. Το σημείο αφετηρίας είναι το αξιωματικό σύστημα για τα σύνολα. Μετά δεχόμαστε το αξίωμα του απείρου και μέσω αυτού εξασφαλίσουμε την ύπαρξη συστήματος φυσικών αριθμών. Δηλαδή εξασφαλίσουμε την ύπαρξη μοντέλου των αξιωματων του Peano. Μετά ορίζουμε πρόσθεση πολλαπλασιασμό διάταξη και τα λοιπά. Υπάρχουν πολλοί ισοδυναμοι τρόποι να το κάνει κανείς αυτό και αυτός που περιγράφετε εσείς είναι ένας διαφορετικός ισοδύναμος τρόπος. Αυτό που θέλω να πω είναι ότι στο τέλος τα ίδια αντικείμενα θα ορίσουμε.

Αυτά που έχω με έντονα είναι τα σημεία που συμφωνώ ή διαφωνώ.
Α) Στα δεύτερα έντονα συμφωνώ. Όποιο σημείο αφετηρίας και αν επιλέξουμε, με λίγο ή πολύ κόπο, είναι δυνατόν να εξασφαλίσουμε ότι οι φυσικοί που θα ορίσουμε είναι οι ίδιοι (:ισόμορφοι).
Β) Στα πρώτα έντονα διαφωνώ. Το σημείο αφετηρίας επιλέγεται ανάλογα με το τι θέλουμε να εκθέσουμε και πόσο τυπικοί θέλουμε να είμαστε. ΔΕΝ είναι απαραίτητο το σημείο αφετηρίας να είναι η αξιωματική συνολοθεωρία ούτε το αξίωμα του απείρου. Όλα εξαρτώνται από το τι επιδιώκει εκείνος που εκθέτει το θέμα. Για να γίνω συγκεκριμένος θα γίνω κουραστικός δίνοντας κάποιες βιβλιογραφικές παραπομπές που σε καμία περίπτωση δεν αποτελούν βιβλιογραφία του θέματος. Απέφυγα να ανατρέξω στον ωκεανό των pdf και χρησιμοποίησα βιβλία που ναι μεν δεν είναι σύγχρονα αλλά μου είναι λίγο ή πολύ γνώριμα:
Προσέγγιση 1η. Ελάχιστη συνολοθεωρία και εισαγωγή αξιωμάτων για τους αριθμούς.
Εκτός από το βιβλίο των Νεγρεπόντη κ.α. (στο οποίο αναφέρθηκα )την εισαγωγή του μέσω του την βλέπουμε σε διάφορα βιβλία. Μεταξύ αυτών και στο
Kelley General Topology Van Nostrand-Reinhold 1950.
Αξίζει να σημειωθεί ότι ο Kelley επιλέγει την εισαγωγή των φυσικών χωρίς πολλά-πολλα συνολοθεωρητικά από την σελίδα 20 παρά το γεγονός ότι στο τέλος του βιβλίου έχει ένα προσάρτημα αξιωματικής συνολοθεωρίας 32 σελίδων.
Από την άλλη πάλι με μηδενική συνολοθεωρία έχει αναπτυχθεί επαρκέστατη εισαγωγή στους φυσικούς αριθμούς μέσω των αξωμάτων του Peano στο κλασικό
Landau Foundations of Analysis Chelsea 1951 (αρχική Γερμανική έκδοση 1929).
Το ίδιο γίνεται και στο
Mendelson Number Systems and the Foundations of Analysis Dover 2008 (1985)
Αυτό το αναφέρω για λόγους που θα φανούν πιο κάτω,
Προσέγγιση 2η. Λίγη (αφελής: naive) συνολοθεωρία.
Αυτό γίνεται πολύ ωραία στο κεφάλαιο 11 του πολύ γνωστού
Halmos Αφελής Συνολοθεωρία Μετ. Γ. Κολέτσος ΕΚΚΡΕΜΕΣ, 2002 (αρχική Αγγλική έκδοση 1960)
Εδώ ακολουθείται η προσέγγιση μέσω του αξιώματος του απείρου που υιοθετείται στο μνημονευθέν βιβλίο του Μοσχοβάκη.
Προσέγγιση 3η. Με αξιωματική συνολοθεωρία.
Φυσικά αυτό γίνεται με άμεσο τρόπο στο κεφάλαιο 5 του βιβλίου του Μοσχοβάκη. Το ίδιο γίνεται στο Κεφ. 3 του
Bourbaki Theory of Sets Addison-Wesley 1968
όπου προηγούνται οι πληθικοί αριθμοί και στο κεφ. 5 του
Suppes Axiomatic Set Theory Dover 1972 (1960)
όπου προηγούνται οι διατακτικοί αριθμοί. Και στα δύο παραπάνω χρησιμοποιείται ουσιωδώς το αξίωμα του απείρου.
Προσέγγιση 4η. Μέσω της Μαθηματικής Λογικής.
Αρκετοί συγγραφείς προτάσσουν της αξιωματικής θεωρίας συνόλων την πραγμάτευση των φυσικών αριθμών. Αυτό γίνεται στα κεφάλαια 3 & 4 του
Mendelson Introduction to Mathematical Logic Van Nostrand-Reinhold 1964
και στα κεφάλαια 8 & 9 του
Shoenfield Mathematical Logic Addison-Wesley 1967
Και στα δύο βιβλία οι φυσικοί αριθμοί εισάγονται ως μια πρωτοβάθμια γλώσσα και χρησιμοποιούνται ελεύθερα πριν την εξέταση της αξιωματικής θεωρίας συνόλων/

Βλέποντας διάφορες πηγές θα διαπιστώσουμε ότι η προσέγγιση των φυσικών αριθμών δεν ακολουθεί ένα μονόδρομο. Κεντρικός πυρήνας όλων είναι ότι δεχόμεθα πως υπάρχει ένα σύνολο φυσικών άμεσα ή έμμεσα (ως προϊόν άλλων κατασκευών/παραδοχών) και προχωράμε. Είναι χαρακτηριστικό ότι ο Mendelson σε δύο διαφορετικά βιβλία του υιοθετεί δύο διαφορετικές προσεγγίσεις. Η προσέγγιση του Landau δεν είναι λιγότερο αυστηρή από εκείνη μέσω του αξιώματος του απείρου. Απλώς η πρώτη γίνεται για να κάνουμε θεωρία αριθμών ή ανάλυση ενώ η δεύτερη για να εντάξουμε υπάρχουσες μαθηματικές δομές σε μια ενιαία θεωρία εκείνη των Συνόλων.

Τελειώνοντας θα ήθελα να επιμείνω ότι το ερώτημα που έθεσε ο Χρήστος είναι πρωτίστως ερώτημα πλαισίου και όχι διαδικασίας. Και το πλαίσιο δεν είναι μονοσημάτως ορισμένο.
Αυτά για ένα θέμα που δεν είμαι ειδικός. Παρεμπιπτόντως: τρία από τα λάθη που έχω κάνει σε αναρτήσεις μου στο είναι στην θεωρία συνόλων .

[chris_gatos]

Καλησπέρα σε όλους!
Είμαι σε μια περίοδο συνεχούς κίνησης εν μέσω καλοκαιρινής ραστώνης.
Δε φαντάστηκα πως θα προκύψει αυτός ο πλουτος απαντήσεων όταν έγραψα αυτό το κείμενο.
Αυτό είναι και το μεγαλύτερο και καλύτερο χαρακτηριστικό του mathematica.gr. Και μου είχε λείψει.
Σας ευχαριστώ όλους για τις γνώσεις που προσφέρθηκαν. Έχω μελέτη. Θεώρησα (με τη δεύτερη προσέγγιση που δίνει ο Νίκος Μαυρογιάννης πως αυτό το ερώτημα λόγω του προφανούς χαρακτήρα του θα προκαλούσε το ενδιαφέρον των μαθητων και θα μπορούσε να γίνει κουβέντα και να μαθευτούν έννοιες που και διδάσκονται όπως η απαγωγή σε άτοπο αλλά και που δεν διδάσκονται οπως η αρχή του ελάχιστου φυσικού.
Να είστε καλά, καλο υπόλοιπο καλοκαιριού!