mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 29, 2024 10:21 am**

Έστω

η προβολή του ορθόκεντρου

ενός τριγώνου ABC

στην εφαπτομένη του περιγεγραμμένου
κύκλου του τριγώνου στην κορυφή

. Αν

το μέσο της πλευράς

, να αποδείξετε ότι MA=MP

.

: proj_orthocenter_to_tangent.png (47.41 KiB) Προβλήθηκε 731 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 29, 2024 12:10 pm**

giannimani έγραψε: Τρί Οκτ 29, 2024 10:21 am Έστω η προβολή του ορθόκεντρου ενός τριγώνου στην εφαπτομένη του περιγεγραμμένου
κύκλου του τριγώνου στην κορυφή . Αν το μέσο της πλευράς , να αποδείξετε ότι .
proj_orthocenter_to_tangent.png

Αν

είναι το περίκεντρο του τριγώνου, τότε OA//HP.

Από το

φέρνω παράλληλη στην εφαπτομένη που

τέμνει τις PH, AO

στα

αντίστοιχα.

: Ε.Μ.25.png (22.65 KiB) Προβλήθηκε 715 φορές

Επειδή τα συμμετρικά του ορθοκέντρου ως προς την

και το

είναι σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου, το

θα είναι συμμετρικό του

ως προς

άρα

Εύκολα τώρα τα ορθογώνια τρίγωνα PLM, ANM

είναι ίσα, απ' όπου προκύπτει το ζητούμενο.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 29, 2024 1:05 pm**

giannimani έγραψε: Τρί Οκτ 29, 2024 10:21 am Έστω η προβολή του ορθόκεντρου ενός τριγώνου στην εφαπτομένη του περιγεγραμμένου
κύκλου του τριγώνου στην κορυφή . Αν το μέσο της πλευράς , να αποδείξετε ότι .
proj_orthocenter_to_tangent.png

: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 25_oritzin.jpg (29.99 KiB) Προβλήθηκε 704 φορές

Το κέντρο του κύκλου , $N\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ τα μέσα των $HA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PA$ . Το τετράπλευρο ANMO

είναι παραλληλόγραμμο.

Έτσι $MN \bot PA$ και αναγκαστικά θα διέρχεται από το μέσο του

. Συνεπώς

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 29, 2024 10:32 pm**

giannimani έγραψε: Τρί Οκτ 29, 2024 10:21 am Έστω η προβολή του ορθόκεντρου ενός τριγώνου στην εφαπτομένη του περιγεγραμμένου
κύκλου του τριγώνου στην κορυφή . Αν το μέσο της πλευράς , να αποδείξετε ότι .
proj_orthocenter_to_tangent.png

Θεωρώ τον κύκλο $\Omega$ του Euler

του τριγώνου ABC

τότε $H\Omega =O\Omega$ , AJ=JA

,και στο τραπέζιο PHOA

η ευθεία $M\Omega J$ , είναι η διάμεσος του Αρα $PH//AO//M\Pi$ και το τρίγωνο MPA

είναι ισοσκελές

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 30, 2024 9:11 am**

Έστω

,

τα συμμετρικά των

,

ως προς το μέσο

. Είναι γνωστό ότι:

Το συµµετρικό

του ορθόκεντρου του τριγώνου ABC

ως προς το µέσο

της πλευράς

, ανήκει στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου, και είναι το αντιδιαµετρικό της
κορυφής

του τριγώνου.

Ως εκ τούτου, $HP \parallel OA$ (κάθετες στην ίδια ευθεία) και $A'H \parallel AH'$ (από το παραλληλόγραμμο AHA'H'

),
δηλαδή, τα σημεία

,

και

ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο APA'

, η

διάμεσος στην υποτείνουσα, οπότε $PM=\frac{1}{2}AA'=AM$ .

: proj_orthocenter_to_tangent_sol.png (45.25 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 03, 2024 1:17 am**

giannimani έγραψε: Τρί Οκτ 29, 2024 10:21 am Έστω η προβολή του ορθόκεντρου ενός τριγώνου στην εφαπτομένη του περιγεγραμμένου
κύκλου του τριγώνου στην κορυφή . Αν το μέσο της πλευράς , να αποδείξετε ότι .
proj_orthocenter_to_tangent.png