τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 25

[giannimani]

Έστω η προβολή του ορθόκεντρου ενός τριγώνου στην εφαπτομένη του περιγεγραμμένου
κύκλου του τριγώνου στην κορυφή . Αν το μέσο της πλευράς , να αποδείξετε ότι .

proj_orthocenter_to_tangent.png (47.41 KiB) Προβλήθηκε 690 φορές

[george visvikis]

Έστω η προβολή του ορθόκεντρου ενός τριγώνου στην εφαπτομένη του περιγεγραμμένου
κύκλου του τριγώνου στην κορυφή . Αν το μέσο της πλευράς , να αποδείξετε ότι .
proj_orthocenter_to_tangent.png

Αν είναι το περίκεντρο του τριγώνου, τότε Από το φέρνω παράλληλη στην εφαπτομένη που

τέμνει τις στα αντίστοιχα.

Ε.Μ.25.png (22.65 KiB) Προβλήθηκε 674 φορές

Επειδή τα συμμετρικά του ορθοκέντρου ως προς την και το είναι σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου, το

θα είναι συμμετρικό του ως προς άρα Εύκολα τώρα τα ορθογώνια τρίγωνα

είναι ίσα, απ' όπου προκύπτει το ζητούμενο.

[Doloros]

Έστω η προβολή του ορθόκεντρου ενός τριγώνου στην εφαπτομένη του περιγεγραμμένου
κύκλου του τριγώνου στην κορυφή . Αν το μέσο της πλευράς , να αποδείξετε ότι .
proj_orthocenter_to_tangent.png

Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 25_oritzin.jpg (29.99 KiB) Προβλήθηκε 663 φορές

Το κέντρο του κύκλου , τα μέσα των . Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Έτσι και αναγκαστικά θα διέρχεται από το μέσο του . Συνεπώς

[STOPJOHN]

Έστω η προβολή του ορθόκεντρου ενός τριγώνου στην εφαπτομένη του περιγεγραμμένου
κύκλου του τριγώνου στην κορυφή . Αν το μέσο της πλευράς , να αποδείξετε ότι .
proj_orthocenter_to_tangent.png

Θεωρώ τον κύκλο του του τριγώνου τότε ,,και στο τραπέζιο η ευθεία , είναι η διάμεσος του Αρα και το τρίγωνο είναι ισοσκελές

[giannimani]

Έστω , τα συμμετρικά των , ως προς το μέσο . Είναι γνωστό ότι:

Το συµµετρικό του ορθόκεντρου του τριγώνου ως προς το µέσο της πλευράς
, ανήκει στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου, και είναι το αντιδιαµετρικό της
κορυφής του τριγώνου.

Ως εκ τούτου, (κάθετες στην ίδια ευθεία) και (από το παραλληλόγραμμο ),
δηλαδή, τα σημεία , και ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο , η διάμεσος στην υποτείνουσα, οπότε .

proj_orthocenter_to_tangent_sol.png (45.25 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Έστω η προβολή του ορθόκεντρου ενός τριγώνου στην εφαπτομένη του περιγεγραμμένου
κύκλου του τριγώνου στην κορυφή . Αν το μέσο της πλευράς , να αποδείξετε ότι .
proj_orthocenter_to_tangent.png

Θεωρούμε , και .Τότε ορθογώνιο και μεσοκάθετη της

Λόγω των εγγράψιμμων οι ροζ γωνίες είναι ίσες ,άρα συνευθειακά.

Συνεπώς ,λόγω χορδής –εφαπτόμενης ,του εγγράψιμμου και της ,οι πράσινες γωνίες

είναι ίσες,άρα ισοσκελές τραπέζιο,επομένως η είναι μεσοκάθετη και της ,άρα

Τα εργαλεία κάνουν το μάτορα 25.png (54.18 KiB) Προβλήθηκε 555 φορές