mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 16, 2025 7:28 pm**

: Διασκεδαστικοί υπολογισμοί.png (18.04 KiB) Προβλήθηκε 1109 φορές

Ο κύκλος

τέμνει την υποτείνουσα

, του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, στο σημείο

και την

στο σημείο

. Η

τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

, ενώ ο κύκλος

τέμνει την

στο σημείο

. Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PQ}{QB}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 16, 2025 10:26 pm**

KARKAR έγραψε: Δευ Ιουν 16, 2025 7:28 pm Διασκεδαστικοί υπολογισμοί.pngΟ κύκλος τέμνει την υποτείνουσα , του ορθογωνίου τριγώνου , στο σημείο

και την στο σημείο . Η τέμνει την προέκταση της στο σημείο , ενώ ο κύκλος

τέμνει την στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PQ}{QB}$ .

Θέτω : $PA = x\,\,,\,\,PQ = y\,\,,\,\,QB = z$ γράφω και τον κύκλο $\left( {B,P,C} \right)$ και τέμνει την

στο

. είναι και το BQAC

εγγράψιμο .

( Να μη γεμίσουμε το τόπο κύκλους! ) ταυτόχρονα τώρα έχω :
.

: Διασκεδαστικοί υπολογισμοί.png (30.39 KiB) Προβλήθηκε 1094 φορές

.
$y\left( {y + z} \right) = x\left( {x + 6} \right)\,\,\left( 1 \right)\,\,,\,\,z\left( {z + y} \right) = 6 \cdot 8 = 48\,\,\left( 2 \right)$ διαιρώ κατά μέλη και προκύπτει: $\dfrac{y}{z} = \dfrac{{x\left( {x + 6} \right)}}{{48}}\,\,\left( 3 \right)$ . Αλλά επειδή EA = AS = 2

Θα ισχύει ακόμα : $6x = 8 \cdot 2 = 16 \Rightarrow x = \dfrac{8}{3}$ κι έτσι η $\left( 3 \right)$ δίδει : $\boxed{\frac{y}{z} = \frac{{13}}{{27}}}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 17, 2025 2:02 am**

KARKAR έγραψε: Δευ Ιουν 16, 2025 7:28 pm Διασκεδαστικοί υπολογισμοί.pngΟ κύκλος τέμνει την υποτείνουσα , του ορθογωνίου τριγώνου , στο σημείο

και την στο σημείο . Η τέμνει την προέκταση της στο σημείο , ενώ ο κύκλος

τέμνει την στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PQ}{QB}$ .

Η

τέμνει τον κύκλο διαμέτρου

στο

και προφανώς οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες,άρα

η

εφάπτεται του κύκλου (C,A,L)

,οπότε

Από την ομοιότητα των τριγώνων APS,ABC

εύκολα παίρνουμε $PA= \dfrac{8}{3}$ άρα $PC= \dfrac{26}{3}$

κι από $(1) \Rightarrow LP^2= \dfrac{208}{9}$

Επιπλέον ,από Π.Θ στο τρίγωνο $APB \Rightarrow PB^2= \dfrac{640}{9}$ άρα με ΠΘ στο τρίγωνο PBL

παίρνουμε $BL^2= \dfrac{432}{9}$

Τώρα $\dfrac{PQ}{QB}= \dfrac{PL^2}{BL^2}= \dfrac{13}{27}$

: ... υπολογισμοί..png (46.77 KiB) Προβλήθηκε 1071 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 17, 2025 7:25 am**

KARKAR έγραψε: Δευ Ιουν 16, 2025 7:28 pm Ο κύκλος τέμνει την υποτείνουσα , του ορθογωνίου τριγώνου , στο σημείο

και την στο σημείο . Η τέμνει την προέκταση της στο σημείο , ενώ ο κύκλος

τέμνει την στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PQ}{QB}$ .

: shape.png (26.66 KiB) Προβλήθηκε 1057 φορές

mathematica.gr

Διασκεδαστικοί υπολογισμοί

Διασκεδαστικοί υπολογισμοί

Re: Διασκεδαστικοί υπολογισμοί

Re: Διασκεδαστικοί υπολογισμοί

Re: Διασκεδαστικοί υπολογισμοί