mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 16, 2025 8:39 am**

: Κυμαινόμενο εμβαδόν.png (11.66 KiB) Προβλήθηκε 282 φορές

Το σημείο

κινείται στο τόξο $\overset{\frown}{AQ}$ , του ημικυκλίου x^2+y^2=9

. Η

τέμνει την ευθεία x=6

,

στο σημείο

. α) Βρείτε τις θέσεις του

για τις οποίες :

και :

.

β) Βρείτε το μέγιστο του (OST)

.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 16, 2025 10:10 am**

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 16, 2025 8:39 am Κυμαινόμενο εμβαδόν.pngΤο σημείο κινείται στο τόξο $\overset{\frown}{AQ}$ , του ημικυκλίου . Η τέμνει την ευθεία ,

στο σημείο . α) Βρείτε τις θέσεις του για τις οποίες : και : .

β) Βρείτε το μέγιστο του .

: Κυμαινόμενο εμβαδόν.png (19.14 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 17, 2025 9:11 am**

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 16, 2025 8:39 am Κυμαινόμενο εμβαδόν.pngΤο σημείο κινείται στο τόξο $\overset{\frown}{AQ}$ , του ημικυκλίου . Η τέμνει την ευθεία ,

στο σημείο . α) Βρείτε τις θέσεις του για τις οποίες : και : .

β) Βρείτε το μέγιστο του .

α) Θέτω

Αρκεί να βρω τη θέση του

Στη συνέχεια το

εντοπίζεται εύκολα.

$\displaystyle (OST) = \frac{1}{2}|\det (\overrightarrow {OS} ,\overrightarrow {OT} )| = \frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3 & 4 \\ 6 & t \\ \end{array}} \right| = \frac{3}{2}|t - 8|$

Προφανώς, το σημείο τομής της

με την ευθεία x=6

είναι το "ψηλότερο" σημείο του

άρα $t\le 8.$

: Κυμαινόμενο εμβαδόν.png (19.14 KiB) Προβλήθηκε 247 φορές

Οπότε, $(OST)=\dfrac{3}{2}(8-t)$ και i) $\boxed{t=6}$ ......... ii) $\boxed{t=5}$

β) Θέτω $\displaystyle P\left( {p,\sqrt {9 - {p^2}} } \right)$ και έχω $\displaystyle SP:y = \frac{{4 - \sqrt {9 - {p^2}} }}{{3 - p}}(x - 3) + 4.$ Για x=6

είναι

$\displaystyle y = t = 3\frac{{4 - \sqrt {9 - {p^2}} }}{{3 - p}} + 4.$ Επειδή OS=5,

το

μεγιστοποιείται όταν η απόσταση του

από την

ευθεία

γίνει μέγιστη. Αυτό όμως συμβαίνει όταν το

γίνει ελάχιστο. Αναζητούμε λοιπόν το ελάχιστο της

συνάρτησης y=t,

που είναι $\boxed{t_{min}=\dfrac{39}{8}}$ όταν $\boxed{p=-\dfrac{21}{25}}$ απ' όπου τελικά $\boxed{(OST)=\frac{75}{16}}$

Σε αυτή τη θέση εύκολα διαπιστώνουμε ότι η

εφάπτεται του ημικυκλίου.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 17, 2025 12:05 pm**

Γιώργο , νομίζω ότι μπορούμε να το δούμε και ως εξής :

: Κυμαινόμενο εμβαδόν.png (13.75 KiB) Προβλήθηκε 234 φορές

Επειδή η συνάρτηση $(OST)=E(t)=\dfrac{3}{2}(8-t)$ είναι φθίνουσα , το εμβαδόν αυτό μεγιστοποιείται

για το μικρότερο δυνατόν

, για το οποίο υπάρχει το σημείο

, δηλαδή όταν η

είναι εφαπτομένη κ.λ.π.

mathematica.gr

Κυμαινόμενο εμβαδόν

Κυμαινόμενο εμβαδόν

Re: Κυμαινόμενο εμβαδόν

Re: Κυμαινόμενο εμβαδόν

Re: Κυμαινόμενο εμβαδόν