ΘΑΛΗΣ 2009 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Αν $\displaystyle{\alpha , \beta}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\frac{4\sqrt{\alpha \beta }}{\alpha +\beta }\le\left (\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }\right)\cdot \frac{\alpha +\beta }{2}}$ .

2. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{C(O, R)}$ . Αν $\displaystyle{A_1 ,B_1 , \Gamma_1}$ είναι τα μέσα των πλευρών του $\displaystyle{{\color{red}B}\Gamma, A\Gamma, AB}$ αντίστοιχα και $\displaystyle{A_2 ,B_2 , \Gamma_2}$ είναι τα μέσα των $\displaystyle{OA,OB,O\Gamma}$ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το εξάγωνο $\displaystyle{A_2 B_1 \Gamma_2 A_1 B_2 \Gamma_1}$ έχει τις πλευρές του ίσες και ότι οι διαγώνιες του $\displaystyle{A_1A_2,B_1B_2}$ και $\displaystyle{\Gamma_1\Gamma_2}$ περνάνε από το ίδιο σημείο.

3. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x, y}$ με $\displaystyle{x \ge 2009}$ και $\displaystyle{y \ge −2009}$ ισχύει ότι: $\displaystyle{\sqrt{x-2009} + \sqrt{y+2009} = \frac{x+y}{2} + 1}$ ,
να βρεθεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{A = \frac{x-y+2}{2}}$ .

4. Να λυθεί το σύστημα: $\displaystyle{\left\{ \begin{matrix} {{(x+y)}^{3}}=z-2x-y \\ {{(y+z)}^{3}}=x-2y-z \\ {{(z+x)}^{3}}=y-2z-x \\ \end{matrix} \right}$ ( $\displaystyle{\Sigma}$ ), στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

edit
Διορθώθηκε ένα γράμμα στο 2ο, ευχαριστώ τον Δημήτρη

Eukleidis · #2

parmenides51 έγραψε:1. Αν $\displaystyle{\alpha , \beta}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\frac{4\sqrt{\alpha \beta }}{\alpha +\beta }\le\left (\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }\right)\cdot \frac{\alpha +\beta }{2}}$ .

$\displaystyle{\frac{{4\sqrt {ab} }}{{a + b}} \leqslant \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)\cdot\frac{{a + b}}{2} \Leftarrow {\left( {a + b} \right)^3} \geqslant 8ab\sqrt {ab} }$
Όμως $\displaystyle{{\left( {a + b} \right)^2} \geqslant 4ab}$ και $\displaystyle{a + b \geqslant 2\sqrt {ab} }$ .
Με πολλαπλασιασμό κατα μέλη προκύπτει το ζητούμενο.

parmenides51 · #3

parmenides51 έγραψε:3. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x, y}$ με $\displaystyle{x \ge 2009}$ και $\displaystyle{y \ge −2009}$ ισχύει ότι: $\displaystyle{\sqrt{x-2009} + \sqrt{y+2009} = \frac{x+y}{2} + 1}$ ,
να βρεθεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{A = \frac{x-y+2}{2}}$ .

$\displaystyle{\sqrt{x-2009} + \sqrt{y+2009} = \frac{x+y}{2} + 1}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2\sqrt{x-2009} + 2\sqrt{y+2009} = x+y + 2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x-2\sqrt{x-2009}+ y- 2\sqrt{y+2009} +2=0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x-2009-2\sqrt{x-2009} +y+2009- 2\sqrt{y+2009} +1+1=0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \sqrt{x-2009}^2-2\sqrt{x-2009}+1^2 +\sqrt{y+2009}^2 - 2\sqrt{y+2009} +1^2=0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (\sqrt{x-2009}-1)^2+(\sqrt{y+2009}- 1)^2=0}$

Ένα άθροισμα μη αρνητικών προσθετέων είναι μηδενικό όταν όλοι οι όροι του είναι μηδενικοί.

άρα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-2009}-1=0\\ \sqrt{y+2009}- 1=0 \end{matrix}\right}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x-2009}=1\\ \sqrt{y+2009}=1 \end{matrix}\right}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-2009=1\\ y+2009=1 \end{matrix}\right}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2010\\ y=-2008 \end{matrix}\right}}$ , δεκτές

τελικά $\displaystyle{A = \frac{x-y+2}{2}=\frac{2010-(-2008)+2}{2}=\frac{2010+2008+2}{2}=\frac{2010+2010}{2}=2010}$

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:4. Να λυθεί το σύστημα: $\displaystyle{\left\{ \begin{matrix} {{(x+y)}^{3}}=z-2x-y \\ {{(y+z)}^{3}}=x-2y-z \\ {{(z+x)}^{3}}=y-2z-x \\ \end{matrix} \right}$ ( $\displaystyle{\Sigma}$ ), στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι $\displaystyle{x =min\{x,y,z\}}$ .Τότε έχουμε τις περιπτώσεις $\displaystyle{x\le y\le z}$ ή $\displaystyle{x\le z\le y}$ .

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{x\le y\le z}$

τότε $\displaystyle{x+y\le y+y\le z+y \Rightarrow x+y\le z+y \mathtop \limits{_{\Longrightarrow}^{x^3 \uparrow} (x+y)^3\le (z+y)^3 }$

$\displaystyle{\mathtop \limits{_{\Longrightarrow}^{\,\,(\Sigma)} z-2x-y\le x-2y-z \Rightarrow z+z-y+2y \le 2x+x \Rightarrow 2z+y\le 3x }$ (1)

κι επειδή $\displaystyle{x\le y\Rightarrow 3x\le 3y}$ (2)

προσθέτοντας κατά μέλη τις (1),(2) προκύπτει πως $\displaystyle{2z+y+3x\le 3x+3y \Rightarrow z\le y}$ κι επειδή $\displaystyle{y\le z}$ θα ισχύει πως $\displaystyle{y=z}$

οπότε $\displaystyle{x\le y\le z \Rightarrow x+z\le y+z\le z +z \Rightarrow x+z\le y+z \limits{_{\Longrightarrow}^{x^3 \uparrow} (x+z)^3\le (y+z)^3}$

$\displaystyle{\mathtop \limits{_{\Longrightarrow}^{\,\,(\Sigma)} y-2z-x \le x-2y-z \Rightarrow y+2y+z-2z \le x+x \Rightarrow 3y -z\le 3x }$

$\displaystyle{\limits{_{\Longrightarrow}^{y=z} 3y -y\le 3x \Rightarrow 2y \le 2x \Rightarrow y \le x}$ κι επειδή $\displaystyle{x\le y}$ θα ισχύει πως $\displaystyle{x=y}$

οπότε $\displaystyle{x=y=z}$ και αντικαθιστώντας στο ( $\displaystyle{\Sigma}$ ) έχουμε:

$\displaystyle{{{(x+x)}^{3}}=x-2x-x \Leftrightarrow (2x)^3=-2x \Leftrightarrow 8x^3+2x=0 \Leftrightarrow 2x(4x^2+1)=0 \Leftrightarrow x=0}$ διότι $\displaystyle{4x^2+1\ge 1>0}$

οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την $\displaystyle{(x,y,z)=(0,0,0)}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{x\le z\le y}$ ομοίως προκύπτει $\displaystyle{x=y=z}$

οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την $\displaystyle{(x,y,z)=(0,0,0)}$

parmenides51 · #5

η χαρά του αλγεβρίστα

parmenides51 έγραψε:4. Να λυθεί το σύστημα: $\displaystyle{\left\{ \begin{matrix} {{(x+y)}^{3}}=z-2x-y \\ {{(y+z)}^{3}}=x-2y-z \\ {{(z+x)}^{3}}=y-2z-x \\ \end{matrix} \right}$ ( $\displaystyle{\Sigma}$ ), στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

λύσεις είδαμε : εδώ, εδώ, εδώ, εδώ κι εδώ (σε απόκρυψη)

parmenides51 · #6

parmenides51 έγραψε:1. Αν $\displaystyle{\alpha , \beta}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\frac{4\sqrt{\alpha \beta }}{\alpha +\beta }\le\left (\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }\right)\cdot \frac{\alpha +\beta }{2}}$ .

διαφορετικά εδώ

parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{C(O, R)}$ . Αν $\displaystyle{A_1 ,B_1 , \Gamma_1}$ είναι τα μέσα των πλευρών του $\displaystyle{A\Gamma, A\Gamma, AB}$ αντίστοιχα και $\displaystyle{A_2 ,B_2 , \Gamma_2}$ είναι τα μέσα των $\displaystyle{OA,OB,O\Gamma}$ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το εξάγωνο $\displaystyle{A_2 B_1 \Gamma_2 A_1 B_2 \Gamma_1}$ έχει τις πλευρές του ίσες και ότι οι διαγώνιες του $\displaystyle{A_1A_2,B_1B_2}$ και $\displaystyle{\Gamma_1\Gamma_2}$ περνάνε από το ίδιο σημείο.

υπόδειξη εδώ (με ομοιοθεσία)

#7

parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{C(O, R)}$ . Αν $\displaystyle{A_1 ,B_1 , \Gamma_1}$ είναι τα μέσα των πλευρών του $\displaystyle{B\Gamma, A\Gamma, AB}$ αντίστοιχα και $\displaystyle{A_2 ,B_2 , \Gamma_2}$ είναι τα μέσα των $\displaystyle{OA,OB,O\Gamma}$ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το εξάγωνο $\displaystyle{A_2 B_1 \Gamma_2 A_1 B_2 \Gamma_1}$ έχει τις πλευρές του ίσες και ότι οι διαγώνιες του $\displaystyle{A_1A_2,B_1B_2}$ και $\displaystyle{\Gamma_1\Gamma_2}$ περνάνε από το ίδιο σημείο.

(Θα ακολουθήσει το σχήμα από τον Parmenides)

Aπό το τρίγωνο $\displaystyle{AO\Gamma}$ , και επειδή το $\displaystyle{A_2 B_1}$ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του, θα έχουμε:

$\displaystyle{A_2 B_1 =\frac{R}{2}}$ . Με τον ΄'ιδιο τρόπο, βρίσκουμε ότι όλες οι πλευρές του εξαγώνου είναι ίσες με $\displaystyle{\frac{R}{2}}$

και άρα το εξάγωνο αυτό έχει ίσες όλες τις πλευρές του.

Τώρα, έχουμε: $\displaystyle{\Gamma _1 A_2 }$ είναι παράλληλο με την $\displaystyle{OB}$ και ισούται με το μισό της. Το ίδιο όμως συμβαίνει και

με το ευθ. τμήμα $\displaystyle{A_1 \Gamma _2}$ . Άρα το τετράπλευρο $\displaystyle{\Gamma _1 A_2 \Gamma _2 A_1}$ , είναι παραλληλόγραμμο

και έστω ότι οι διαγώνιοί του τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{K}$ .

Όμοια δείχνουμε ότι και το τετράπλευρο $\displaystyle{A_1 B_2 A_2 B_1}$ , είναι παραλληλόγραμμο και αφού το $\displaystyle{K}$ είναι το μέσον

της διαγωνίου $\displaystyle{A_1 A_2}$ , άρα θα είναι το κέντρο του. Συνεπώς και η άλλη διαγώνιος αυτού $\displaystyle{B_1 B_2}$ , θα διέρχεται

από το $\displaystyle{K}$ .

parmenides51 · #8

parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{C(O, R)}$ . Αν $\displaystyle{A_1 ,B_1 , \Gamma_1}$ είναι τα μέσα των πλευρών του $\displaystyle{B\Gamma, A\Gamma, AB}$ αντίστοιχα και $\displaystyle{A_2 ,B_2 , \Gamma_2}$ είναι τα μέσα των $\displaystyle{OA,OB,O\Gamma}$ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το εξάγωνο $\displaystyle{A_2 B_1 \Gamma_2 A_1 B_2 \Gamma_1}$ έχει τις πλευρές του ίσες και ότι οι διαγώνιες του $\displaystyle{A_1A_2,B_1B_2}$ και $\displaystyle{\Gamma_1\Gamma_2}$ περνάνε από το ίδιο σημείο.

: 8alis 2009 2o bl.png (20.7 KiB) Προβλήθηκε 1546 φορές

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Aπό το τρίγωνο $\displaystyle{AO\Gamma}$ , και επειδή το $\displaystyle{A_2 B_1}$ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του, θα έχουμε:

$\displaystyle{A_2 B_1 =\frac{R}{2}}$ . Με τον ίδιο τρόπο, βρίσκουμε ότι όλες οι πλευρές του εξαγώνου είναι ίσες με $\displaystyle{\frac{R}{2}}$

και άρα το εξάγωνο αυτό έχει ίσες όλες τις πλευρές του.

Τώρα, έχουμε: $\displaystyle{\Gamma _1 A_2 }$ είναι παράλληλο με την $\displaystyle{OB}$ και ισούται με το μισό της. Το ίδιο όμως συμβαίνει και

με το ευθ. τμήμα $\displaystyle{A_1 \Gamma _2}$ . Άρα το τετράπλευρο $\displaystyle{\Gamma _1 A_2 \Gamma _2 A_1}$ , είναι παραλληλόγραμμο

και έστω ότι οι διαγώνιοί του τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{K}$ .

Όμοια δείχνουμε ότι και το τετράπλευρο $\displaystyle{A_1 B_2 A_2 B_1}$ , είναι παραλληλόγραμμο και αφού το $\displaystyle{K}$ είναι το μέσον

της διαγωνίου $\displaystyle{A_1 A_2}$ , άρα θα είναι το κέντρο του. Συνεπώς και η άλλη διαγώνιος αυτού $\displaystyle{B_1 B_2}$ , θα διέρχεται

από το $\displaystyle{K}$ .

ΘΑΛΗΣ 2009 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2009 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση