Δημοσιεύω επιτέλους (μετά από αρκετά προβληματάκια στη μορφοποίηση LaTeX...) τη λύση μου:

α) Η σχέση της εκφώνησης μπορεί να γραφτεί ως: $f(x)+e^{f'(x)}=e^{-x^2}+e^{-2xe^{-x^2}} \Rightarrow f(x)-e^{-x^2}=e^{-2xe^{-x^2}}-e^{f'(x)} (1)$.

Ορίζουμε τις εξής συναρτήσεις:

$g(x)=f(x)-e^{-x^2},\forall x ...

Και από την άλλη κολλάμε όλοι μας πολλές φορές με τη λύση που έχουμε και δεν θέλουμε να δούμε άλλη.

Πότε το είπα αυτό; Δεν είπα τίποτε τέτοιο, μάλιστα είπα :coolspeak: .


Πάντως Ιάσονα αν λύνεις στοιχειωδώς τη διαφορική (η οποία παρεμπιπτόντως μου θυμίζει μια άλλη, δεν είμαι σε θέση τώρα να ...

Ας το πω αλλιώς, διογκώνοντας το θέμα κάνοντας χιούμορ για χάρη του παραδείγματος.

Πες ότι ζητώ σε ένα παιδάκι να βρεί πόσο κάνει 2+1, και του λέω συγχρόνως: Πρόσεχε, η λύση

δαγκώνει και μάλιστα θανάσιμα
διότι χρησιμοποιεί μιγαδικούς αριθμούς.

Το "δαγκώνει και μάλιστα θανάσιμα" αναφερόταν ...

... απλά χρησιμοποεί ολοκλήρωση που δεν είναι αποδεκτή στα σχολικά πλαίσια

Ίσως χάνω κάτι;

Η λύση που έβαλα δεν χρησιμοποιεί ύλη εκτός από τα σχολικά πλαίσια, άσε που ισχυροποιεί ουσιαστικά το ζητούμενο.

Όχι, δεν εννοώ την δική σας, η δική σας είναι μια χαρά, εννοώ αυτή που βγάζει το $\frac ...

Ας παρατηρηθεί ότι η απόδειξη του gavrilos είναι ουσιαστικά πλήρης, χωρίς διαισθητικό βήμα. Απλά τονίζει ότι "διαισθητικά μπορούμε να το καταλάβουμε " αλλά προσθέτει το αληθές (και γνωστό) ότι "υπάρχει και απόδειξη εντός ύλης". Ορθόν.


Προφανώς και είναι ολόσωστο! Εξάλλου, για αυτό και έγραψα ...

Θέλει κανείς ακόμη να προσπαθήσει το (α) με σχολική ύλη και χωρίς διαισθητική προσέγγιση; Αύριο κατά το πρωί θα αναρτήσω την πλήρη λύση μου για όλα τα ερωτήματα.

Η φορά της ανισότητας είναι σωστή. Δείτε και εδώ: http://www.wolframalpha.com/input/?i=(i ... e%5E2)%2F2.

cretanman έγραψε:Όχι δεν είναι απαραίτητο. Στο Δελτίο το συμπεριλάβαμε για να μη χρειάζεται κάποιος που το διαβάζει να ανατρέχει στα προηγούμενα ερωτήματα. Εξάλλου το ερώτημα είναι σαφές: "Με βάση τις απαντήσεις στα ερωτήματα Β1, Β2, Β3 να σχεδιάσετε..."

Τέλεια. Ευχαριστώ!

Μια ερώτηση: Στο Β4 έπρεπε να κάνουμε ολικό πίνακα μεταβολών; Γιατί εγώ θεώρησα ως αρκετούς τους πίνακες από τα Β1, Β2 και δεν έκανα ολικό πίνακα...

Λοιπόν, καλό μεσημέρι σε όλους. Βρήκα μια νέα βελτιωμένη εκδοχή απόδειξης που σαν αποτέλεσμα έχει να περιττεύει ένα δεδομένο (το ότι f(x)>0). Για αυτό και το αφαιρώ από την άσκηση με το edit. Τώρα περιορίζονται τα πράγματα, αλλά είναι πιο όμορφα!!

Καλημέρα και από εμένα. Μία προσωπική μου κατασκευή (με αφορμή γραφικές παραστάσεις!).

Έστω μία συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=0}$ και για κάθε $x\in\mathbb{R}$ να ισχύει: $\displaystyle{e^{f'(x)+x^2}+f(x) e^{x^2 ...

Μια σκέψη:

Ελπίζω αυτό να μην αποτελεί μια ακόμη αφορμή για "αφαίρεση μονάδων" από διορθωτές στις Πανελλήνιες επειδή απλά και μόνο χρησιμοποίησαν την λογική των Μαθηματικών. Μάλλον πρέπει να τελειώνουμε πια με αυτόν τον λατρευτικό χαρακτήρα του σχολικού βιβλίου ωσάν να είναι θεός. Το σχολικό βιβλίο ...

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Από την ταυτότητα του Euler

Εδώ μάλλον είναι +

Τη δεύτερη απόδειξη θα την υποβάλω ως συνημμένη εικόνα, γιατί η μορφοποίηση του LaTeX στο είναι πολύ χειρότερη από το MathJax που έχω στον Η/Υ.

Edit 1: Ενημερώθηκα ότι οι λύσεις σε συνημμένες εικόνες δεν επιτρέπονται από τον κανονισμό, οπότε...

Έρχεται μία πιθανή λύση (με πρόλαβε ο @Achilleas) με ΘΜΤ: (η δεύτερη απόδειξη είναι πιο ωραία)

Έστω $f(x)=e^{\frac{1}{x}}, x\in\mathbb{R^*}$. Τότε, η $f(x)$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R^*}$ με παράγωγο: $f'(x)=\frac{-e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$

Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού ...

Christos.N έγραψε:

Jason98 έγραψε:Βρήκα 2 διαφορετικές λύσεις. Θα τις δημοσιεύσω όταν έχω χρόνο... (πιθανόν αύριο)

Κάτι τέτοια έλεγε και αυτός και μας πήρε χρόνια 350 χρόνια.

Αυτό θα έλεγα και εγώ τώρα: Δεν προλαβαίνω να τις γράψω λόγω ελλιπούς περιθωρίου!

Βρήκα 2 διαφορετικές λύσεις. Θα τις δημοσιεύσω όταν έχω χρόνο... (πιθανόν αύριο)

Να ρωτήσω κάτι: Αυτό το βιβλίο έχει φέτος ενημερωθεί για την φετινή ύλη της Γ' Λυκείου ή συμπεριλαμβάνει ακόμη μιγαδικούς και συνάρτηση -ολοκλήρωμα;

Να βρεθούν συναρτήσεις τέτοιες ώστε . (τουλάχιστον δύο)

Mihalis_Lambrou έγραψε:

Jason98 έγραψε: Έβγαλα μέχρι τώρα ότι και για κάθε x.

Για ξαναδές το αυτό. Η συνθήκη του Σιλουανού έχει ως πόρισμα ενώ αυτό που γράφεις δίνει .

Το διόρθωσα αυτό... Λόγω νύκτας έγινε το μοιραίο λάθος...