Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $\displaystyle{\nu}$, έτσι ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{\nu+181}$ και $\displaystyle{\nu-288}$ να είναι κύβοι ακεραίων.



Έστω $n+181=a^3$ και $n-288=b^3$. Αφαιρώντας τις σχέσεις κατά μέλη βρίσκουμε

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) = 181+288 ...

Προβλημα 3
Απο Cauchy-Schwartz $16 (\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2)= ( \sqrt {8}^2+\sqrt{6}^2+\sqrt{2}^2)(\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2) \geq (\alpha \sqrt{8}+\beta \sqrt{6}+\gamma \sqrt{2})^2$
και $\alpha \sqrt{8}+\beta \sqrt{6}+\gamma \sqrt{2}\ge 4\sqrt{\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2}$.
Τοτε εχουμε ...