Το χ τεινει προς τα δεξια λογο του sinx αρα εχουμε :
$\frac{\sqrt{1-cosx}}{x}+\sqrt{sinx}=\sqrt{\frac{1-cosx}{x^{2}}}+\sqrt{sinx}\rightarrow \sqrt{\frac{1}{2}}+0=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{1-cosx}{x^{2}}=\frac{(1-cosx)(1+cosx)}{x^{2}}\cdot \frac{1}{cosx+1}=\frac{1-cos^{2}x}{x^{2}}\cdot\frac{1}{cosx ...

ΘΕΜΑ Γ

Γ1 $3<y<4\Rightarrow 9<y^{2}<16 \quad(1)$
$1<x<3 \Leftrightarrow 2<2x<6\Leftrightarrow -2>-2x>-6 \quad (2)$
Προσθέτωντας κατά μέλη τις (1),(2) έχουμε οτι: $3<y^{2}-2x<14$
$1<x<3\Leftrightarrow -1>-x>-3\Leftrightarrow 3>4-x>1\Leftrightarrow \frac{1}{3}<\frac{1}{4-x}<1$

Πολλαπλασιάζουμε ...

$\int_{0}^{1}\frac{dx}{e^{x^{3}}+x+1}$
θετουμε $e^{x^{3}}=u\Leftrightarrow lnu=x^{3} \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{lnu}\Rightarrow dx=\frac{1}{3u}\cdot(lnu)^{-\frac{2}{3}}du$
oποτε το ολοκληρωμα μετασχηματιζεται στο :$\int_{1}^{e}\frac{\frac{1}{3x}\cdot(lnx)^{-\frac{2}{3}}}{1+x+\sqrt[3]{lnx}}dx$
$I ...

Γνωριζουμε οτι : $ln{x}\leq x-1 \overset{x\rightarrow \frac{1}{x}{}}{\rightarrow} lnx\geq 1-\frac{1}{x} \Leftrightarrow x\cdot lnx \geq x-1 \Leftrightarrow e^{x}\cdot x\cdot lnx \geq xe^{x}-e^{x}\\=e^{x}(x-1)$

Για $x\geq 1$ προφανως ισχυει η ανισοτητα.

Θεωρουμε την συναρτηση : $t(x)=e^{x}(x-1),x ...

'Eστω μια μη σταθερή συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία
ισχύει η σχέση : $f(x)+f''(x)=1,\forall x \in \mathbb{R}$
νδο η συνάρτηση $g(x)=f(x)+2x,x\in \mathbb{R}$ είναι γνησίως άυξουσα


Έχει δίκιο που διαμαρτύρεται ο Χρήστος.

Αντιπαράδειγμα είναι π.χ. η $f(x) = 1+100 ...

'Eστω μια μη σταθερή συνάρτηση για την οποία
ισχύει η σχέση :
νδο η συνάρτηση είναι γνησίως άυξουσα

Aλλη μια λυση πιο απλη θα ηταν :
$ \displaystyle \widehat {{\rm A}{\rm O}\Gamma } = \pi - \theta $

Φερνοντας την καθετο η οποια λογο ισοσκελους τριγωνου θα ειναι και διαμεσος και διχοτομος, χωριζει την γωνια σε 2 ισες εστω $ \theta_1 $
με $ \theta_1=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2} $

$ \displaystyle ...

Καλησπέρα σας , θα ήθελα σας παρακάλω βοήθεια στην παρακάτω άσκηση.

'Εστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη με συνεχή δεύτερη παράγωγο και ισχύουν τα παρακάτω:
$f(1)=4,f'(1)=12$
$f(x)\leq 2x^6 +2 \quad \forall x\in\mathbb{R}$
$\int_0^1f(x)dx=1 , \int_0^1x^2\cdot f ...

Καλησπέρα σας , θα ήθελα σας παρακάλω βοήθεια στην παρακάτω άσκηση.

'Εστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη με συνεχή δεύτερη παράγωγο και ισχύουν τα παρακάτω:
$f(1)=4,f'(1)=12$
$f(x)\leq 2x^6 +2 \quad \forall x\in\mathbb{R}$
$\int_0^1f(x)dx=1 , \int_0^1x^2\cdot f''(x ...

Καλησπέρα σας , θα ήθελα σας παρακάλω βοήθεια στην παρακάτω άσκηση.

'Εστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη με συνεχή δεύτερη παράγωγο και ισχύουν τα παρακάτω:
$f(1)=4,f'(1)=12$
$f(x)\leq 2x^6 +2 \quad \forall x\in\mathbb{R}$
$\int_0^1f(x)dx=1 , \int_0^1x^2\cdot f''(x)dx=6 ...

Mια άλλη προσέγγιση για το 1ο οριο
$\lim_{x\rightarrow +oo}(\frac{x}{x+1})^{x}=\lim_{x\rightarrow +oo}e^{xln(\frac{x}{x+1})}$
θέτουμε $u=xln(\frac{x}{x+1})$
άρα θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο:$\lim_{x\rightarrow +oo}xln(\frac{x}{x+1})$
$lnx<x-1\overset{x=\frac{x}{x+1}}{\rightarrow}\Leftrightarrow ...

Αν έχουμε την συγκεκριμένη λογικη προταση $p\rightarrow q\rightarrow r\rightarrow s$
έχει σημασία για το αποτέλεσμα απο που θα ξεκινήσουν να μπαίνουν οι παρενθέσεις δηλαδή:
απο αριστερα προς τα δεξια: $(((p\rightarrow q)\rightarrow r)\rightarrow s)$
απο δεξια προς τα αριστερα :$(p\rightarrow (q ...

Μήπως σας παρακαλώ μπορείτε να μου δείξετε με ποια λογική βρίσκουμε το σύνολο των λύσεων μιας εξίσωσης της μορφής,
με και ίσως κάποιο λυμένο παράδειγμα..
Ευχαριστώ εκ των προτερων

ποσο μοριοδοτείται η εύρεση της ευθείας στο δ1 μήπως γνωρίζει κάποιος ;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων

Να δείξετε ότι:

xr.tsif έγραψε: Κυρ Μάιος 03, 2020 6:28 pm ξανακοίταξε σε παρακαλώ τα πρόσημα

Εννοειται οτι υπαρχει καποιο λαθος στον υπολογισμο;

Σας ευχαριστώ πολύ για την άμεση ανταπόκριση. Το συγκεκριμένο ολοκλήρωμα προκύπτει ως άκρο σε μια ανισωτική σχέση και ο συγγραφέας δίνει ως απάντηση

Όσο για τον υπολογισμό με 2 διαδοχικές παραγοντικες για το εκθετικο προέκυψε ξανά το ζητούμενο ολοκλήρωμα.

Σωστό είναι ;

Έστω συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty )$
για την οποία ισχύουν:
$xf'(x)=\frac{e^{f(x)}+lnx-1}{x-lnx}$
H $Cf$ εφάπτεται στον χ'χ
α) Να αποδείξετε ότι $f(x)=ln(x-lnx), x\in (0,+\infty)$
β) Αν $0< x\neq 1$ να αποδείξετε ότι η εξίσωση: $f(x)-ln(f(x))+1=e$ έχει ακριβώς δύο ρίζες
γ) Αν $x ...

$|sinx+x|\leq |sinx|+|x|$
Αρκεί νδο:
$|sinx|+|x|<|x|+\sqrt{|x|}\Leftrightarrow$
$|sinx|<\sqrt{|x|}\Leftrightarrow sin^{2}x<|x|$
$\Leftrightarrow sin^{4}x<x^{2}$
Το οποίο ισχύει Αφού:$0<sin^{2}x< x^{2}$
$0< sin^{2}x<1$
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη προκύπτει το παραπάνω
Άρα:$|sinx+x|< |x|+\sqrt{|x|}$