Η λύση μου για το Πρόβλημα 6 :
Καλούμε $\displaystyle P(x_1,x_2,\dots,x_{p-1}) $ το υπόλοιπο του αθροίσματος $\displaystyle x_1x_2+\dots +x_{p-2}x_{p-1}$ modulo $\displaystyle p$.
Ώς $\displaystyle P(x_i \leftrightarrow x_j)$ ορίζουμε το υπόλοιπο που προκύπτει από μια αρχική μετάθεση αν εναλλάξουμε ...

Εστω δυο χορδες ,ενος κυκλου $C$, $BD$ και $CE$
που τεμνονται (εσωτερικα) στο $A$
Εστω ο κυκλος που εφαπτεται στις δυο χορδες εξωτερικα του τριγωνου $ABC$
και στον κυκλο $C$ στα σημεια $R,Q , M$ αντιστοιχα.
Να δειξετε οτι το $M$ το μεσο του μικρου τοξου $BC$ και το εγκεντρο του $ABC$
ειναι ...

Μια απλη και ευκολη ( αλλα αρκετα εκτενης ) λυση στη γεωμετρια προκυπτει Αν θεωρησουμε $A_2\equiv QA_1 \cap C_1$
και
$B_2\equiv PB_1\cap C_1$
οπου $C_1$ ο περιγεγραμμενος του ABC.
Τοτε βγαινουν εγγραψιμα τα : $PQB_2A$
$P_1B_1CB_2$
$Q_1A_1CA_2$
οποτε μετα απο "angle chasing" Βγαινουν και τα $PQA_2Q ...

ισως να υπαρχει και πιο στοιχειωδεις...:
α) Απο θεωρημα Παππου για τις ευθειες $AB , AC$ με $MRB$ και $NQC$
εχουμε οτι τα εξης σημεια ειναι συνεθειακα : $MQ\cap RN\equiv S , RC\cap BQ\equiv H , MC\cap BN\equiv G$ οποτε
$S$ βρισκεται στην ευθεια Euler.
β) Εστω $\omega$ περιγεγραμμενος του ΑΜΝ και ...

Προκριματικός μεγάλων 2018 χρειαζόταν αυτό το λήμμα

Θα μπορούσαμε βέβαια να ακούσουμε απόψεις για τα θέματα των μεγάλων χωρίς να αποκαλύψουμε κάτι(π.χ. Το 1 μου φάνηκε εύκολο το 3 δύσκολο) σωστά;;;

Μετα απο πραξεις
οποτε ή ριζες του Η(x) .Τα πολυώνυμα και τα θεωρει έτσι ωστε να τον βολεύουν στον υπολογισμό των ριζών.Υπάρχουν και αλλα τέτοια !

Εστω $P(x)=x^n+ax^{n-1}+R_{1}(x)$
Τοτε ο μεγιστοβαθμιος ορος του $P(x+p)-P(x-p)$ ειναι βαθμού $n-1$ και προκύπτει απο τη διαφορα :
$(x+p)^n-(x-p)^n=(2p)[(x+p)^n+(x+p)^{n-1}(x-p)+...+(x-p)^{n-1}]$ στην οποια εχουμε $n$ φορες το $x^{n-1}$
Οπότε ο μεγιστοβαθμιος ειναι $2pnx^{n-1}$
Αν τωρα υποθεσουμε $Q ...

Θα μπορούσε κάποιος να ανεβάσει μια λυση ή υπόδειξη στο πρόβλημα 2 γιατί έχω κολλήσει;