Θέμα 4:

Με $ (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8, a_9) $ συμβολίζουμε τον αριθμό των πιονιών στα $ 8 $ κουτιά και το σακούλι $(a_9)$.

Αρχικά είναι $(1,1,1,1,1,1,1,1,0)$.


$ (1,1,1,1,1,1,1,1,0) \rightarrow (1,1,1,1,1,1,0,3,0) \rightarrow (0,3,0,3,0,3,0,3,0) \rightarrow (0,0,6,3,0,3,0,3,0 ...

Θεμα 1:

Χωρίς να χάνουμε γενικότητα, $ P(x) = (x-a)(x-b), Q(x) = (x-a-2016)(x-r) $.

Ξέρουμε πως: $P(-2016) \in \mathbb{Q} $.

Άρα, $ P(-2016)=(a+2016)(b+2016) \neq 0 \in \mathbb{Q}$.

Πρέπει $Q(0) = (a+2016)r \neq 0 \in \mathbb{Q} $.

Συνεπώς, $ \frac{Q(0)}{P(-2016)} = \frac{r}{b+2016} = z \in ...

Διορθώστε με αν έχω κάνει λάθος.

Για το τέταρτο των μικρών:

Θεωρούμε έναν "κακό" χρωματισμό για τις 99 μπάλες. Θα κάνουμε την επόμενη κίνηση:

$(1,.., 50)(51,..., 99)\rightarrow (51,..,99,1)(2,..,50)$, ο οποίος είναι "καλός" χρωματισμός.

Θεωρούμε έναν "καλό" χρωματισμό για τις 99 μπάλες. Κάνουμε ...