EGMO 2024 - Tskaltubo, Γεωργία


Πρόβλημα 3. Ονομάζουμε έναν θετικό ακέραιο αριθμό $n$ παράξενο αν, για κάθε θετικό διαιρέτη $d$ του $n$, ο ακέραιος $d(d+1)$ διαιρεί τον $n(n+1)$. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε τέσσερεις διαφορετικούς παράξενους αριθμούς $A$, $B$, $C$ και $D$, ισχύει ότι ...

EGMO 2024 - Tskaltubo, Γεωργία

1η μέρα - 13 Απριλίου 2024

Πρόβλημα 1. Δύο διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί $u$ και $v$ είναι γραμμένοι σε έναν πίνακα. Εκτελούμε μια ακολουθία βημάτων. Σε κάθε βήμα κάνουμε μια από τις ακόλουθες δύο ενέργειες:

(i) Εάν οι $a$ και $b$ είναι διαφορετικοί αριθμοί ...

EGMO 2024 - Tskaltubo, Γεωργία


Πρόβλημα 2. Δίνεται ένα τρίγωνο $ABC$ με $AC>AB$, ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\Omega$ και το έγκεντρο του $I$. Έστω ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται στις πλευρές του $BC,CA,AB$ στα σημεία $D,E,F$, αντίστοιχα. Έστω $X$ και $Y$ δύο σημεία στα ...

Έστω $X,Y$ τα σημεία επαφής του κύκλου $(A,AD)$ με της εφαπτόμενες από το $Q$,Εστω ακόμη η εφαπτόμενες στον $(ABC)$ στα $B,C$ να τέμνονται στο σημειa $T$ που προφανώς θα ανήκει στον $(BOC)$ και τέλος έστω $P$ να είναι το $A-Dumpty-point$ τότε και το $P$ ανήκει στον $(BOC)$.
$\angle BQC=180-\angle ...

$\angle MNC=\angle KGC+\angle NCG=180 -\frac{\angle A+\angle C}{2}=180-\angle DCB$
Οπότε για να είναι εγγράψιμο θα πρέπει τα $B,MD$να είναι συνευθειακα.
Έστω $M'$ το μεσο της $EF$ θα δείξουμε ότι $K,M',G$ συνευθειακα.
Αρκει:$\angle KGE=\angle M'GE$
$\Leftrightarrow \angle KGE=\angle BGF ...

Έστω $P$ η προβολή του $D$ στην $EF$ και $S=IP\cap (ABC)$.
Θα δείξουμε ότι $S,A,E,I,F$ ομοκυκλικα και ότι $S,D,M$ συνευθειακα.
Θεωρούμε την αντιστροφή ως προς τον εγγεγραμμένο κύκλο τότε τα $A,B,C$ πηγαίνουν στα μέσα των $EF,FD,DE$ οπότε ο $(ABC)$πηγαινει στον κύκλο του Euler του $DEF$ επειδή $S ...

Δίνεται εγγράψιμο τετράπλευρο $ABCD$ και $O$ το κέντρο του περίκυκλού του. Οι ευθείες $AB$ και $DC$ τέμνονται στο σημείο $E$ και έστω $F$ το αντιδιαμετρικό του $E$ στον περίκυκλο του τριγώνου $BCE.$ Να δείξετε ότι οι ευθείες $AC$,$BD$ και $OF$ συντρέχουν.


Έστω $Z=AD\cap BC,P=DB\cap AC$ και $M ...

Έστω η παράλληλος από το $H$ στην εξωτερική διχοτόμο της γωνίας $\angle A$ τέμνει τις πλευρές $AB,AC$ στα $F',E'$ αντίστοιχα και έστω η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας $\angle A$ να τέμνει την $HD$ στο $J$ και τον κύκλο $(ABC)$ στο $M$ τότε:

$<AEF=<AFE=<AE'F'=AF'E'=\frac{<B+<C}{2}=<BD'D=\angle CD'D ...

Έστω $a!+b=p^x$ και $b!+a=p^y$

Έστω $a\geqslantb\geqslant p$
Αν $a\geqslant 2p$ τότε $U_p(a!)>U_p(b)\Rightarrow U_p(a!+p)=U_p(b)=x$ όμως τότε $a!+b>b>=p^{U_p(b)}=x$ άτοπο
Οπότε θα πρέπει $2p>a>b\geqslant p$ από $mod p$ περνούμε ότι $a=b=p$
Θα έχουμε λοιπόν την $p!+p=p^x\Rightarrow (p-1)!=p^{x-1}-1 ...

Έστω $M,N$ τα μέσα των τόξων $BC,BAC$ και $A',P'$ στον $(ABC)$ έτσι ώστε $AA'//BC/PP'$.Προφανώς $P'$ είναι το αντιδιαμετρικο του $Q$ αφού $<P'PQ=90$.
Είναι γνωστο ότι $A'D,NI$ τέμνονται πάνω στον $(ABC)$ στο σημείο επαφής του $(ABC)$ με τον Α-mixtilinear-incircle.Εστω $T_A$ αυτό το σημείο.

Έχουμε ...

ΘΕΜΑ 3
Έστω τρίγωνο $ABC$, $AB\ne AC$, και $I$ το έκκεντρό του.
Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται της πλευράς $BC$ στο σημείο $D$.
Αν $M$ το μέσο της $BC$, να αποδείξετε ότι η ευθεία $IM$ περνάει από το μέσο του τμήματος $AD$.


Έστω $D',L$ το αντιδιαμετρικο του $D$ και το σημείο ...

ΘΕΜΑ 2
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της πραγματικής σταθερής $M$ έτσι ώστε

$\displaystyle{ (a+bc)(b+ac)(c+ab)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge(Mabc) }$

για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a,b,c$ για τους οποίους $a+b+c=1.$


Για $\displaystyle{a=b=c=\frac{1}{3 ...

ΘΕΜΑ 1
Για ποιους ακεραίους $x$ είναι ο αριθμός $x^{2009}+x^{2008}+x^{2}+x+1$ πρώτος;
Έστω $g$ μια πέμπτη ριζά της μονάδας τότε $f(g)=g^4+g^3+g^2+g+1=0$ οπότε $x^4+x^3+x^2+x+1|x^{2009}+x^{2008}+x^{2}+x+1$
Eστω $x^{2009}+x^{2008}+x^{2}+x+1= (x^4+x^3+x^2+x+1)P(X)$ επειδή θέλουμε $x^{2009}+x^{2008 ...

ΘΕΜΑ 2
Να βρεθούν όλες οι τριάδες $(p,x,y)$ τέτοιες ώστε $p^x=y^4+4$, όπου $p$ πρώτος και $x,y$ μη αρνητικοί ακέραιοι.



θα λύσουμε το εξής:
Να βρεθούν όλες οι τετράδες $(p,x,y,z)$ τέτοιες ώστε $p^z=x^4+4y^4$, όπου $p$ πρώτος και $x,y,z$ μη αρνητικοί ακέραιοι.
Έστω $(x,y)=1$ τότε:
$p^z=x^4+4y ...

Demetres έγραψε: Πέμ Φεβ 23, 2023 2:34 pm Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους για τους οποίους ισχύει

Που ήταν πρόβλημα 2 στον προκριματικο των μικρών το 2019

Πρόβλημα 3: Έστω $N$ το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να καλύψουμε μια $3 \times 2023$ σκακιέρα ($3$ γραμμές και $2023$ στήλες) χρησιμοποιώντας τα παρακάτω πλακίδια:

Senior-B3-Fig1.png

Να βρείτε τα δύο τελευταία ψηφία του $N$.



Έστω $a_n$ το πλήθος των τροπών για να καλύψουμε ...

Πρόβλημα 4: Να αποδείξετε ότι υπάρχει πεπερασμένο πλήθος φυσικών αριθμών $n$ που ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle n - 2023 \leqslant d(n) + \varphi(n) \leqslant n\,.$


θα δείξουμε ότι $d(n)\geq \sqrt[3]{n}$ ισχύει για πεπερασμένο πλήθος αριθμών $n$.
Εστω $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}*...*p_l^{a_l ...

Καταπληκτικά τα θέματα των μεγάλων!
Μια μικρή αμφίβολια για το πρόβλημα 2 αν και δεν χαλάει την ομορφιά του το έχουμε δει και εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=175&t=69997 (τελευταίο ποστ υπάρχει ο ακόλουθος σύνδεσμος)
https://www.researchgate.net/publication/241020745_On_Oblath ...

:10sta10:
Φοβερό $mod17$!!!
Δεν το είχα παρατήρηση. Την περίπτωση $n=2k+1$ την είχα κάνει ως εξής:
Αν $n=1$ αδύνατο.

Αν $n\equiv 1(mod4)$ τότε $mod16$ έχουμε $m^2\equiv -1(5-1)\equiv -4(mod16)$ αδύνατο αρά $n\equiv 3(mod4)$

Αν $n\equiv 5(mod6)$ τότε $mod7$ έχουμε $m^2\equiv (4-1)(3-1)\equiv 6 ...

Αυτό είναι παρόμοιο με το πρόβλημα $1$ της περσινής $IMO$.

Αρκεί να βρούμε την τριάδα $(a,b,c)$ τέτοια ώστε:
$ab|a+b,bc|b+c,ca|c+a$ και τέτοια ώστε από όλες τής λύσης $max(a,b,c)$ να είναι ελάχιστο.

Έχω βρει την τρίαδα $(16,48,240)$ αλλά δεν ξέρω αν έχει ελάχιστο μέγιστο.

Edit: καλύτερη τριάδα ...