Αφού $f \in \mathcal{C}([0,1], (0,+\infty))$ έχουμε ότι $a = \int_{0}^{1}f(x)dx > 0$.
Θεωρούμε την απεικόνιση $g: [0,1] \to (0,+\infty), \hspace{2mm} t \mapsto \int_{t}^{1}f(x)dx$. Προφανώς, η $g$ είναι συνεχώς παραγωγίσιμη, γνησίως φθίνουσα και το σύνολο τιμών της είναι το κλειστό διάστημα $[0,a ...

Αρχικά θα παρατηρήσουμε ότι η $y = 0$ είναι μια προφανής λύση της διαφορικής εξίσωσης του Π.Α.Τ.
Άρα για την αρχική συνθήκη $y_{0} = 0$ η μοναδική λύση του Π.Α.Τ είναι η σταθερά μηδενική, για την οποία και ικανοποιούνται τετριμμένα όλες οι ανισότητες που μας δίνονται.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι $y_{0 ...

5) Έστω $D^2=\{(x,y) : x^2+y^2 \leq 1\}$, $S^1=\{(x,y): x^2+y^2=1\}$ και $x \in D^2$.
Δείξτε ότι ο $D^2/\{x\}$ είναι απλά συνεκτικός αν και μόνο αν $x \in S^1$.
Επιλέγουμε $ x \in D^{2}$ και ορίζουμε τον χώρο $X = D^{2} \setminus\{x\}$.

Ας υποθέσουμε ότι το $x$ είναι εσωτερικό σημείο του $D^{2 ...

2) Δείξτε ότι μια συνεντική τοπολογική πολλαπλότητα(manifold) είναι συνεκτική κατά τόξα.

Κανείς;

Ας είναι $X$ μια συνεκτική τοπολογική πολλαπλότητα διαστάσεως $n$. Έστω $ A = \{(U,\phi)\}$ ένας (μεγιστικός) τοπολογικός άτλας της πολλαπλότητας. Σταθεροποιούμε $p_{0} \in X$ και ονομάζουμε ...