Θεωρούμε τις παραβολές $f(x) = x^2 -1$ και $g(x) = 1 - x^2$ ορισμένες στο κλειστό διάστημα $[-1,1]$.



Θεωρούμε ένα ορθογώνιο ABCD του οποίου οι κορυφές Α και D βρίσκονται επί της γραφικής παράστασης της $g$ και οι κορυφές B και C βρίσκονται επί της γραφικής παράστασης της $f$. Υποθέτουμε επίσης ...

Έστω $f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}$ μια δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάστημα $[0,+\infty)$ με:

$2f(0) = 2f(1) = 4$


$\forall x \in [0, +\infty) : {f}''(x) >0$


α) Να δείξετε ότι $\lim_{x\to +\infty } f(x) = +\infty$
β) Να δείξετε ότι η $f$ παρουσιάσει τοπικό μέγιστο και ένα ολικό ...

Παραθέτουμε την ενδεικτική λύση. Προφανώς οποιαδήποτε ερώτηση, παρατήρηση, διόρθωση ή απορία είναι καλοδεχούμενη.
Σε περίπτωση που κάποιος θελήσει να μελετήσει το πρόβλημα, θα αναρτηθεί η απόδειξη στο εξής αρχείο. Convex_Set.pdf

Ίσως θα μπορούσε να γίνει καλύτερη επιλογή της λωρίδας L με την ...

Παρά την απλότητα του το παρακάτω μπορεί να παρουσιάζει ενδιαφέρον.

Ας είναι $\varnothing \subsetneq S \subset \mathbb{R}^n$ ένα κλειστό και φραγμένο σύνολο. Ορίζουμε $\mathfrak{F} = \{ (x_{1},x_{2}) \in \partial S \times \partial S : x_{1} \neq x_{2}\}.$. Θα συμβολίζουμε με $[a.b]$ το ευθύγραμμο ...

Πράγματι, το θέμα αυτό είναι ενδιαφέρον.

Θεωρούμε τη ακολουθία ${(x_{n})}^{\infty}_{n=1} \subset \mathbb{N}$, όπου $x_{n} = \frac{n(n+1)}{2}$.Είναι προφανές ότι η ακολουθία αυτή είναι γνησίως αύξουσα. Για $n \geq 2}$ ορίζουμε $y_{n} = \frac{n(n-1)}{2} - \frac{(n-1)(n-2)}{2}$.

Μετά από πράξεις ...

Έστω δύο συναρτήσεις $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε


Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$.

Η $g$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $g(x) \geq 0 $ για κάθε $x\in \mathbb{R}$
$\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x^2 -1} = \frac{1}{2}$

$\forall x \in \mathbb{R} (f^2 ...

Πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα!

α) Παρατηρούμε ότι

$\lim_{x \to 0}\frac{2f(x) - f(-x) -1}{x^2} = 4 \implies \lim_{x \to 0} \frac {2f(-x) - f(x) - 1}{x^2} = 4$


Είναι λοιπόν άμεσo

$2\Big(\lim_{x \to 0}\frac{2f(x) - f(-x) -1}{x^2}\Big) + \lim_{x \to 0}\frac{2f(-x) - f(x) - 1}{x^2} = 12$



Από τη ...

ΠΡΩΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Δίνονται οι συναρτήσεις $g : [0 , +\infty) \rightarrow \mathbb{R} , x \mapsto \frac{x}{x+1}$ και $f : \mathbb{R} \rightarrow [0, +\infty)$. Υποθέτουμε ότι η $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ότι ικανοποιεί τη σχέση:
${f}''(x)(1+f(x)) \geq 2({f}'(x))^2$
1. Να δείξετε ότι η $g ...