Ας προσθέσω ότι τέθηκαν ζητήματα διαχείρισης προσωπικών δεδομένων, οικονομικού πολέμου των εταιριών τεχνητής νοημοσύνης ενάντια στην ακαδημαϊκή κοινότητα και παραγωγής δυσανάγνωστης για ανθρώπους μαθηματικής έρευνας για σκοπούς μάρκετινγκ.

Εδώ παραθέτω τη δήλωση του Tristan Buckmaster , καθηγητή ...

Καλησπέρα σας.

Για την τετράδα $11,13,17,19$ έχουμε ότι το κέντρο είναι το $15=\frac{5\cdot 6}{2}$.

Είναι τριγωνικός αριθμός και φυσικά ελαχιστοποιεί την απόσταση από τον εαυτό του, αλλά $15\equiv 6 (mod 9)$.

Άλλο ένα παράδειγμα είναι στην τετράδα πρώτων $101,103,107,109$ όπου το κέντρο $105 ...

Να υπολογισθεί το άθροισμα $\sum_{k=0}^\infty{}x_k$, όπου $x_0=1 $ και $2x_{n+1}^2=\left(\sqrt{2}-\left(\sum_{k=0}^n{}x_k\right)\right)^2.$


Υποθέτω (προς το παρόν) ότι $x_k \geq 0$ για κάθε $k \geq 0$.

Αλλιώς από την αναδρομική σχέση προκύπτουν διάφορες πιθανές ακολουθίες με την αντίστοιχη ...

Έστω $x$ και $y$ δύο μη μηδενικά διανύσματα $d$-διάστατα που είναι ορθογώνια.

Υπάρχει πίνακας $A $ , ( $d×d$ ) τέτοιος ώστε τα διανύσματα $Ax$ και $Ay$ να μην είναι ορθογώνια;


Γενικά μπορούμε να επιλέξουμε τον $A$ στην τύχη και να είμαστε "σχεδόν βέβαιοι" ότι θα ικανοποιεί την ζητούμενη ...

Έστω $x$ και $y$ δύο μη μηδενικά διανύσματα $d$-διάστατα που είναι ορθογώνια.

Υπάρχει πίνακας $A $ , ( $d×d$ ) τέτοιος ώστε τα διανύσματα $Ax$ και $Ay$ να μην είναι ορθογώνια;


Και ένα κατασκευαστικό παράδειγμα.

Υποθέτοντας ότι δουλεύουμε στον $\mathbb R^d$ μπορούμε να θέσουμε

$A= \begin ...

Το θέμα έχει ξανατεθεί σε ισοδύναμη διατύπωση εδώ (αν ερμηνεύω σωστά την εκφώνηση).

Έχω την εντύπωση ότι αν υποθέσουμε επιπλέον ότι η είναι συνεχής, τότε είναι της μορφής

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Οκτ 26, 2025 7:02 pm α) ,

β) ,

αλλά καλό είναι ο αναγνώστης να είναι επιφυλακτικός.

Θα το δω πιο αναλυτικά όταν βρω χρόνο.

Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R\to \mathbb{R}}$ ώστε να ισχύει

$f(x+f(y))=f(x)+f(y)$ για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$

...πιστεύω ότι άλλες λύσεις (άπειρες) χρησιμοποιούν το Αξίωμα της Επιλογής. Κάνω λάθος;

Όπως τα λέτε είναι. Ίσως ο θεματοθέτης ήθελε να γράψει $f$ συνεχής.

Χωρίς αυτήν ...

Ίσως έπρεπε να εξηγήσω καλύτερα το τελευταίο βήμα. Το σκεπτικό είναι το εξής:
Ο Αντετοκούμπο είναι ψηλότερος από κάθε μαθηματικό. Οι μαθηματικοί έχουν ύψος μικρότερο από 2μ. Άρα ο Αντετοκούμπο έχει ύψος μεγαλύτερο από ή ίσο με 2μ.
όπου Αντετοκούμπο-->η συνάρτηση $f(2x)$, ύψος μαθηματικού-->η ...

.
Να βρεθεί ακολουθία φυσικών αριθμών $a_1<a_2<a_3 < ... $ τέτοια ώστε όλα τα δυνατά αθροίσματα όρων της να είναι διαφορεικά μεταξύ τους.

Σχόλιο: Υπάρχουν πολλοί τρόποι αντιμετώπισης, είτε δίνοντας συγκεκριμένο παράδειγμα είτε κατασκεταστικοί. Θα ήθελα να έβλεπα διάφορους τέτοιους τρόπους ...

Επαναφορά.

Εστω $a_{1},a_{2},....a_{n},n\geq 3$ πραγματικοί ώστε $ \left | a_{i}-a_{j}\right |\geq 1$ για κάθε $i,j\in \left\{ 1,2,....n\right\},i\neq j$
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης $ a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+.....+a_{n}^{2} $


Προφανώς οι αριθμοί $a_1,\ldots ,a_n$ είναι διαφορετικοί ανά δύο. Ας ...

Έστω η ακολουθία , όπου .

• Να δειχθεί ότι .

• Να βρεθεί ο όρος .

panosgl2006 έγραψε: Πέμ Αύγ 21, 2025 7:32 pm Άσκηση 62

Από δυωνυμικό Ανάπτυγμα ή από το τρίγωνο του pascal(για μαθητες) ξέρουμε ότι

...

Καλησπέρα. Αν και η ιδέα αυτή φυσικά οδηγεί σε λύση, οι δυωνυμικοί συντελεστές δεν είναι σωστοί.

Nα βρεθεί το ελάχιστο της παράστασης

$\displaystyle{\dfrac {a^2}{b}+ \dfrac {b}{c^2}+\dfrac {c}{a} }$

ως προς όλα τα $a,b,c >0$.


Είναι:

$\displaystyle \frac {a^2}{b}+ \frac {b}{c^2}+\frac {c}{a} =\frac {a^2}{b}+ \frac {b}{c^2}+\frac {c}{2a}+\frac {c}{2a}\stackrel{AM-GM}{\geq}4\sqrt[4 ...

Πρόβλημα 8: Για έναν $n \times n$ πραγματικό πίνακα $A \in M_n(\mathbb{R})$, συμβολίζουμε με $A^{\mathbb{R}}$ την στροφή του κατά $90^{\circ}$ με φορά αντίθετη από αυτή του ρολογιού.
Για παράδειγμα,
$\displaystyle{
\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{array}\right]^R ...

Καλησπέρα σας.Πρόσφατα άρχησα να σκέφτομαι την μελλοντική μου πορεία.Θελω από τα τέλη του 2ου έτους να μπω σε κάποιο ερευνητικό προγράμμα για προπτυχιακούς φοιτητές(REU)

Στην Ελλάδα νομίζω δεν έχουμε τέτοια προγράμματα και το καλύτερο που μπορείς να κάνεις είναι να συμμετάσχεις σε ένα project ...

Άσκηση 22 Έστω $a>0$. Να βρεθεί το όριο

$\displaystyle{ \lim _{n\to \infty } \dfrac {1}{n^2} \sum _{k=1}^n \sqrt {(na+k)(na+k+1) } $

Υπάρχει όμως ένας περιορισμός: Ζητάμε λύση χωρίς χρήση αθροισμάτων Riemann, παρ' όλο που η άσκηση φαίνεται να μας προσκαλεί να την αντιμετωπίσουμε με αθροίσματα ...

.
Άσκηση 36 (βελτιωμένη) . Έστω $f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ περιοδική συνάρτηση με περίοδο $T>0$. Αν το σύνολο $\{f(n) | n \in \mathbb N \}$ έχει άπειρα το πλήθος στοιχεία, δείξτε ότι το $T$ είναι άρρητος αριθμός.



Δείχνουμε το αντιθετοαντίστροφο, ότι δηλαδή αν η περίοδος $T ...

Επαναφορά.