Μια ακόμα προσπάθεια. Η ανισότητα $e^x\geq x+1$ ισχύει προφανώς για κάθε $x\leq -1$. Για $x>0$ θέτουμε $y =1/x$ και η ζητούμενη γράφεται ισοδύναμα $e^{1/y}\geq \cfrac{1}{y} +1\Leftrightarrow e \geq \left(1+\cfrac{1}{y}\right)^y$ η οποία ισχύει διότι η συνάρτηση $\left(x+1/x\right)^x$ είναι γνησίως ...

Το βασικό βήμα για την απόδειξη στο $0$ μπορεί να βρεθεί στον απειροστικό λογισμό των Νεγρεπόντη - Γιωτόπουλου - Γιαννακούλια , τόμος 1 σελ. 47 , πρόταση 4.14 (iii)


Αν είναι εύκολο, σκιαγραφείστε, έστω επιγραμματικά, την τεχνική στην οποία αναφέρεστε:
$\bullet$ αφ' ενός για χάρη των μη ...

Αρχικά δείχνουμε ότι είναι συνεχής στο 0 και μετά παντού. Το βασικό βήμα για την απόδειξη στο $0$ μπορεί να βρεθεί στον απειροστικό λογισμό των Νεγρεπόντη - Γιωτόπουλου - Γιαννακούλια , τόμος 1 σελ. 47 , πρόταση 4.14 (iii). Είναι σχολικής εμβέλειας και χρησιμοποιεί την ανισότητα Bernoulli και το ...

Ενδιαφέρον ερώτημα. Δεν ξέρω να το αποδείξω με ύλη Β' Λυκείου αλλά ας επιχειρηματολογήσω με ενδείξεις ότι υποπτεύομαι πως ΔΕΝ υπάρχει τέτοια στοιχειώδης απόδειξη:

Ας εξετάσουμε γενικότερα, για δεδομένο $a>0$, την ανισότητα $a^x\ge 1+x$ για κάθε $x$. Περιέργως αποδεικνύεται ότι το μόνο $a$ για ...

Μου φαίνεται σχετικό , οπότε θα το ρωτήσω εδω: Στη Γ λύκείου αποδεικνύουμε σε δύο γραμμές , με παραγώγους, την πολύ βασική ανισότητα $e^x\geq x+1 \ \ , \forall x \in \mathbb{R}$ , από την οποία προκύπτει (ένας από τους τρόπους είναι αυτός) η επίσης απλή $\ln x\leq x-1 \ \ \forall x \in (0,+\infty ...

Γεια σας , είδα ότι ο φάκελος είναι άλγεβρα της β λυκείου, οπότε υπέθεσα ότι με τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και θα είμαστε εντάξει. Αν όχι, προφανώς έχετε δίκιο και θα ξαναπροσπαθήσω.

Η ζητούμενη είναι ισοδύναμη με την
για ,
η οποία ισχύει.

Μερικά συμπεράσματα/παρατηρήσεις βλέποντας τα παραπάνω ' χάλια '

α) Τα παραπάνω αντικατοπτρίζουν την δουλειά που (η μάλλον δεν) γίνεται στα σχολεία (αλλά και στα φροντιστήρια).



Αυτό είναι προσβλητικό για τους χιλιάδες δασκάλους που ματώνουν κάθε μέρα στις τάξεις. Πέρα από προσβλητικό , είναι ...

Καθόλου δε με ενόχλησε το αέρας κοπανιστός. Ίσα ίσα που το βρήκα εφυέστατο. Όσον αφορά την αυστηρότητα , αυτή δε συνδέεται καθόλου με τη σοβαρότητα μιας συζήτησης κατ' εμέ. Να είστε καλά, και σας ευχαριστώ εγώ, γιατί πολλές φορές έχω διδαχτεί από τις εδώ αναρτήσεις σας.

Για τον αέρα κοπανιστό που λέτε...εκεί ακριβώς έγκειται η μεγαλοφυία του Von Neuman. Αφού τα θεμέλια των μαθηματικών ταλαιπωρήθηκαν για χρόνια από τα παράδοξα (Ο Frege σταμάτησε την έκδοση του βιβλίου του στο τυπογραφείο την τελευταία στιγμή!) , το πιο αυτοσυνεπές αντικείμενο είναι μακράν το ...

Για τον αέρα κοπανιστό που λέτε...εκεί ακριβώς έγκειται η μεγαλοφυία του Von Neuman. Αφού τα θεμέλια των μαθηματικών ταλαιπωρήθηκαν για χρόνια από τα παράδοξα (Ο Frege σταμάτησε την έκδοση του βιβλίου του στο τυπογραφείο την τελευταία στιγμή!) , το πιο αυτοσυνεπές αντικείμενο είναι μακράν το κενό ...

Είναι ο σωστός ο διαχωρισμός του ορισμού από την υλοποίηση. Όμως , ορισμός χωρίς υλοποίηση είναι απλώς αλληλουχία λέξεων και τίποτα άλλο.

Το τέλμα στο οποίο βρέθηκαν τα μαθηματικά εξαιτίας των παραδόξων (του Russel κτλ) , ανέδειξε την ανάγκη της θεμελίωσης των μαθηματικών εννοιών ξέχωρα από την εμπειρία. Έγινε σαφές ότι η θεωρία συνόλων του Cantor είναι το κατάλληλο πλαίσιο για να ξεκαθαρίσει η κατάσταση , παρόλο που η θεωρία και ο ...

Αν συμπληρωθεί το η ερώτηση είναι μια χαρά. Και η απάντηση είναι "σωστό" .