έστω ότι y²+108=x³
108=x³-y²
x³-y²≡0 mod9
3/χ και 3/y ή τα υπόλοιπα της διαίρεσης των χ³ και y² αντίστοιχα με το 9 πρέπει να είναι 1
x³-y²≡0 mod4
2/χ και 2/y ή ότι τα υπόλοιπα της διαίρεσης των χ³ και y² αντίστοιχα με το 4 να είναι 1
Μετά καταλήγεις σε άτοπο και στις τέσσερις περιπτώσεις

εγω ελυσα το τεταρτο θεμα με mod 9 και mod4 και επαγωγη σε ατοπο η λυση μου δεν χρειαζοταν καποια ιδιαιτερη και εξειδικευμενη γνωση απλα ηταν αρκετα χρονοβορα οποτε ναι λυνεται και χωρις περιπλοκα θεωρηματα απλα απαιτει υπομονη το μονο που χρειαστηκα ειναι να βρω τα υπολοιπα τετραγωνων και κυβων mod ...