6227
α) Το τριώνυμο $\displaystyle{{x^2} - 5x - 6}$
έχει διακρίνουσα $\displaystyle{\Delta = {( - 5)^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 6) = 49}$
και ρίζες $x=6,x=-1$.
Συνεπώς: $\displaystyle{{x^2} - 5x - 6 < 0} \Leftrightarrow -1<x<6$.
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση $f$ με $f(x)={x^2} - 5x - 6$, οπότε ...

Μία λύση για το Δ2α
Έστω $F(x)$ μία αρχική της $f(x) , x \epsilon R$ . Τότε, $F'(x)=f(x)>0$ (Είναι $f(x)>0$ απλό μέσω μονοτονίας ή σύνολο τιμών). Τότε, $F(x)$ γνησίως αύξουσα στο $R$ .
Και
$\int_{1}^{2f'(x)}{f(u)du}=0\Leftrightarrow \left[ F(u)\right]_1^{2f'(x)}=0\Leftrightarrow F(2f'(x))-F(1)=0 ...