Με εντελώς αντίστοιχο σκεπτικό με του Μιχάλη:

Για $\varepsilon=1$, από τον ορισμό της ομοιόμορφης συνέχειας, βρίσκουμε $\delta>0$ με

$|x-y|<2\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon$.

Έστω τώρα $x\in\mathbb{R}$. Για κάποιο $n\in\mathbb{N}$ είναι $n\delta\leq |x|<(n+1)\delta$.

Τότε θα είναι ...