1283

ΑΣΚΗΣΗ 1283 Αν οι αριθμοί $\displaystyle{a , b , c}$ είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί ( $\displaystyle{N=\{0,1,2,3, ...\}}$ ) και ο

$\displaystyle{n}$ είναι επίσης φυσικός αριθμός, να βρεθούν όλες οι δυνατές λύσεις της εξίσωσης

$\displaystyle{a^n + b^n + c^n =2049}$

GMANS

socrates έγραψε:Άσκηση 1283
Έστω διαφορετικοί ανά δύο πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε οι εξισώσεις και να έχουν κοινή πραγματική ρίζα, όπως και οι εξισώσεις και Να βρεθεί το άθροισμα

Αν r η κοινή ρίζα των δύο πρώτων εξισώσεων τότε :
$\begin{Bmatrix} r^2+ar+1=0 (1)\\ \wedge \\ r^2+br+c=0 (2) \end{Bmatrix}\overset{(-)}{\rightarrow}r=\frac{c-1}{a-b}$

Αν t η κοινή ρίζα των δύο τελευταίων εξισώσεων τότε :

$\begin{Bmatrix} t^2+t+a=0\\ \wedge \\ t^2+ct+b=0\end{Bmatrix}\overset{(-)}{\rightarrow}(c-1)t=a-b \rightarrow t=\frac{a-b}{c-1} (επειδή a\neq b\rightarrow c\neq 1)$

Επομένως $rt=1\rightarrow r=\frac{1}{t}$
[ $(1)\Rightarrow \frac{1}{t^2}+\frac{a}{t}+1=0\Rightarrow 1+at+t^2=0\Rightarrow 1+at+t^2=0\Rightarrow 1+at-t-a=0\Rightarrow t=1,r=1}$ ]
Τότε : (1),(2) γίνονται
$\begin{Bmatrix} 1+a+1=0 \\ \wedge \\ 1+b+c=0 \end{Bmatrix}\overset{(+)}{\rightarrow}a+b+c=-3$

ευχαριστώ τον socrates για την επισήμανση . Πρόσθεσα τα περιεχόμενα στις "κόκκινες" αγκύλες

Άσκηση 1283
Έστω a,b,c

διαφορετικοί ανά δύο πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε οι εξισώσεις x^2+ax+1=0

και

να έχουν κοινή πραγματική ρίζα, όπως και οι εξισώσεις x^2+x+a=0

και

Να βρεθεί το άθροισμα a+b+c

.

Άσκηση 1284
Αν a, b, c>0,

να δείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{1 + ab}{c}+\frac{1 + bc}{a}+\frac{1 + ca}{b}>\sqrt{a^2 + 2} +\sqrt{b^2 + 2} +\sqrt{c^2 + 2}.}$

Άσκηση 1285
Αν a, b, c

θετικοί αριθμοί με a + b + c = 1,

να δείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{a^2}{b^3 + c^4 + 1}+\frac{b^2}{c^3 + a^4 + 1}+\frac{c^2}{a^3 + b^4 + 1}>\frac{1}{5}.}$

Άσκηση 1286
Έστω οι ακέραιοι a,b

για τους οποίους ο αριθμός a^2-4b

είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.
Να δείξετε ότι ο αριθμός 3ab

γράφεται ως άθροισμα τριών (όχι απαραίτητα διαφορετικών) τέλειων κύβων ακεραίων.

Άσκηση 1287
Για κάθε θετικό ακέραιο

συμβολίζουμε με d(n)

το μέγιστο περιττό διαιρέτη του. Να υπολογίσετε το άθροισμα

$\displaystyle{d(1008)+d(1009)+...+d(2015)}$

Άσκηση 1288
Αν

είναι ένας ακέραιος, να δείξετε ότι ο αριθμός 2(n^2 + 1)−n

δεν είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Άσκηση 1289
Να δείξετε ότι η εξίσωση $x^2+y^3 = z^{2015}$ έχει άπειρες θετικές ακέραιες λύσεις.

Άσκηση 1290
Στην περιφέρεια κύκλου είναι γραμμένοι $n\geq3$ διαφορετικοί ανά δύο πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε καθένας να ισούται με το γινόμενο των δύο γειτονικών του αριθμών.
Να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές του

Άσκηση 1291
Έστω $a_1,a_2,...,a_{11}$ ακέραιοι αριθμοί.
Να δείξετε ότι υπάρχουν $b_1,b_2,...,b_{11}\in \{-1,0 ,1\}$ , όχι όλοι μηδέν, έτσι ώστε ο αριθμός $\displaystyle{N=a_1b_1+a_2b_2+...+a_{11}b_{11}}$ να διαιρείται με το 2015

.

Άσκηση 1292
Στον πίνακα είναι γραμμένος ένας θετικός ακέραιος.
Δύο μαθητές, ο Α και ο Β, παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι. Εναλλάξ, αντικαθιστούν τον αριθμό που είναι γραμμένος στον πίνακα είτε με το πλήθος των διαιρετών του είτε με τη διαφορά του από το πλήθος των διαιρετών του. Έτσι σε κάθε κίνηση προκύπτει ένας μη αρνητικός ακέραιος. Νικητής είναι ο μαθητής που θα γράψει πρώτος τον αριθμό

Αν ο Α παίζει πρώτος, να βρείτε ποιος έχει στρατηγική νίκης αν αρχικά στον πίνακα είναι γραμμένος ο αριθμός
α) 1036

,
β)

Η αναζήτηση βρήκε 3 εγγραφές: 1283

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο