Ρητὲς τιμὲς σὲ πολυώνυμα

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω θετικὸς πραγματικός, ὥστε γιὰ κάποιο $n\in\mathbb N$ , οἱ ἀριθμοὶ
$\displaystyle{ x^n+\frac{1}{x^n}, \quad x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}, }$
νὰ εἶναι ρητοί. Δείξατε ὅτι $\displaystyle x+\frac{1}{x}\in\mathbb Q$ .

dement · #2

Έστω $\displaystyle x^n + \frac{1}{x^n} = r_n \in \mathbb{Q}$ και $\displaystyle x^{n+1} + \frac{1}{x^{n+1}} = r_{n+1} \in \mathbb{Q}$ .

Οι ρίζες του πολυωνύμου $P_n (t) \equiv t^{2n} - r_n t^n + 1 \in \mathbb{Q}[t]$ είναι $\displaystyle x e^{2k \pi i / n}, \ \frac{1}{x} e^{2k \pi i / n} \ (k = 0,...,n-1)$ και αντίστοιχα του $P_{n+1}(t) \equiv t^{2n+2} - r_{n+1} t^{n+1} + 1 \in \mathbb{Q}[t]$ είναι $\displaystyle x e^{2k \pi i / (n+1)}, \ \frac{1}{x} e^{2k \pi i / (n+1)} \ (k = 0, ..., n)$ .

Προφανώς τα δύο σύνολα ριζών έχουν το πολύ δύο κοινά στοιχεία (τα $\displaystyle x, \frac{1}{x}$ ) και έτσι το ανάγωγο πολυώνυμο του (αλγεβρικού)

έχει βαθμό το πολύ

. Αν ο βαθμός του είναι

τότε $x \in \mathbb{Q}$ και το ζητούμενο προφανώς ισχύει. Αν είναι

τότε το ανάγωγο πολύωνυμο είναι $\displaystyle t^2 - \left( x + \frac{1}{x} \right) t + 1 \in \mathbb{Q}[t]$ , οπότε $\displaystyle x + \frac{1}{x} \in \mathbb{Q}$ .

Ρητὲς τιμὲς σὲ πολυώνυμα

Ρητὲς τιμὲς σὲ πολυώνυμα

Re: Ρητὲς τιμὲς σὲ πολυώνυμα

Μέλη σε σύνδεση