Κατάρριψη Εικασίας Μονάδος

[gbaloglou]

Δεν θα πίστευε κάποιος ότι τα δύο συνημμένα έχουν κάποια σχέση μεταξύ τους, αλλά έχουν: αυτό με τα 21 'συμμετρικώς τοποθετημένα' στερεά παραπέμπει στους "21 όρους" του πρόσφατου άρθρου "Μαθηματικός καταρρίπτει Εικασία Αλγέβρας ηλικίας 80 ετών" της Erica Klarreich στο Quanta Magazine και το πως αυτοί οι 21 όροι γεννούν δύο στοιχεία με γινόμενο μονάδα σε μια κάποια group algebra^ και εκείνο με την πλήρη διατύπωση του Θεωρήματος Α -- δείτε το χωρίς μεγεθυντικό φακό εδώ -- αποτελεί μάλλον μία αφηρημένη γενίκευση του 21 x 21 = 1 αντιπαραδείγματος που μόλις αναφέρθηκε!

Κάπως μπερδεμένα τα λέω; Μάλλον, και γιατί είναι θέματα που ΔΕΝ κατέχω καλά, και γιατί η συγγραφέας ΔΕΝ έχει κάνει την σύνδεση ανάμεσα στα δύο συνημμένα. (Δίνει βέβαια το παράδειγμα της ανάκλασης και της σχέσης , άμεσης απόρροιας της 'βολικότατης' , αλλά αυτό πολύ απέχει από το 'κρυσταλλοπρεπές' αντιπαράδειγμα του Giles Gardam που κατέρριψε πρόσφατα την "Εικασία Μονάδος" (Unit Conjecture) του Irving Kaplansky ... περί της τεράστιας δυσκολίας (αν όχι αδυνατότητας) 'συνδυασμού' διαφόρων 'δύστροπων' όρων σε έναν αναστρέψιμο όρο. Αν μη τι άλλο, και αν κατάλαβα σωστά, με κάποιον μυστηριώδη τρόπο έχουμε μεταφερθεί από το περιβάλλον των τρισδιάστατων ισομετριών και των κρυσταλλογραφικών ομάδων σ' αυτό των torsion-free ομάδων και των στοιχείων άπειρης τάξης. Όπως και νάχει, μία στοχευμένη αναζήτηση στον υπολογιστή οδήγησε σ' ένα αντιπαράδειγμα που γενικεύεται σ' ένα αφηρημένο αλγεβρικό θεώρημα!)

...Όποιος γνωρίζει/καταλαβαίνει κάτι παραπάνω ας βοηθήσει, αλλιώς ας απολαύσουμε για μια ακόμη φορά το μυστήριο και μεγαλείο των Μαθηματικών όπως αυτό αναδύεται μέσα από ένα ακόμη εκλαϊκευτικό άρθρο

crystal-unit.jpg (31.5 KiB) Προβλήθηκε 867 φορές