Ιδιοδιανύσματα

[efi19]

Ας υποθέσουμε ότι για έναν 3x3 πίνακα Α βρίσκουμε 3 διακεκριμένες ιδιοτιμές λ₁ , λ₂ , λ₃. H σχέση Αx=λx , χ=(x, y, z) για κάθε ιδιοτιμή μας οδηγεί στην επίλυση τριών συστημάτων στα οποία προκύπτει μία μόνο μεταβλητή ως ελεύθερη. Έχει σημασία αν στο 1ο σύστημα αφήσω ελεύθερη μεταβλητή την z στο 2ο την y και στο 3ο ας πούμε πάλι τη z ή σε όλα τα συστήματα πρέπει να αφήσω ελεύθερη μεταβλητή την ίδια; Και πως επηρεάζεται ο πίνακας Ρ που διαγωνοποιεί τον πίνακα Α αν υποθέσουμε ότι ο Α διαγωνοποιείται;

[Mihalis_Lambrou]

Ας υποθέσουμε ότι για έναν 3x3 πίνακα Α βρίσκουμε 3 διακεκριμένες ιδιοτιμές λ₁ , λ₂ , λ₃. H σχέση Αx=λx , χ=(x, y, z) για κάθε ιδιοτιμή μας οδηγεί στην επίλυση τριών συστημάτων στα οποία προκύπτει μία μόνο μεταβλητή ως ελεύθερη. Έχει σημασία αν στο 1ο σύστημα αφήσω ελεύθερη μεταβλητή την z στο 2ο την y και στο 3ο ας πούμε πάλι τη z ή σε όλα τα συστήματα πρέπει να αφήσω ελεύθερη μεταβλητή την ίδια; Και πως επηρεάζεται ο πίνακας Ρ που διαγωνοποιεί τον πίνακα Α αν υποθέσουμε ότι ο Α διαγωνοποιείται;

Δεν καταλαβαίνω πλήρως την ερώτηση σου, αλλά ας τα πάρουμε ένα-ένα. Αρχίζω με αυτό που κοκκίνισα.

Λες ότι για κάθε ιδιοτιμή πρέπει να επιλύσουμε τρία συστήματα. Εγώ όπως το βλέπω είναι ότι για κάθε ιδιοτιμή έχουμε να επιλύσουμε ένα σύστημα (το οποίο έχει τρεις εξισώσεις). Σωστά;

Παρακαλώ διευκόλυνέ μας με το να ξεκαθαρίσεις το ζητούμενο.

Και ένα τελευταίο: Παρακαλώ γράφε σε latex όπως πολύ σωστά απαιτούν οι κανονισμοί μας. Δεν είναι τυπική απαίτηση, αλλά ουσιαστική, γιατί αλλιώς τα σύμβολα βγαίνουν περίεργα, και συχνά ακαταλαβίστικα.

[efi19]

Έχετε δίκιο, κακή διατύπωση αλλά αυτό εννοούσα, ένα σύστημα τριών αγνώστων για κάθε ιδιοτιμή, τρία συστήματα τριών αγνώστων το καθένα συνολικά.

[efi19]

Π.χ.

[Mihalis_Lambrou]

Έχει σημασία αν στο 1ο σύστημα αφήσω ελεύθερη μεταβλητή την z στο 2ο την y και στο 3ο ας πούμε πάλι τη z ή σε όλα τα συστήματα πρέπει να αφήσω ελεύθερη μεταβλητή την ίδια;

Δεν έχει σημασία ποια μεταβλητή θα αφήσεις ελεύθερη. Προσοχή όμως, πρέπει το ιδιοδιάνυσμα να περιγράφεται σωστά. Ο λόγος που δεν μας ενδιαφέρει ποια θα είναι η ελεύθερη μεταβλητή είναι ο εξής, που ας το δούμε με παράδειγμα.

Πες ότι το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί σε κάποια ιδιοτιμή είναι είναι το και τα μη μηδενικά πολλαπλάσιά του.

Αυτά τα διανύσματα μπορούν να περιγραφούν είτε ως προς την πρώτη μεταβλητή, δηλαδή ως τα διανύσματα της μορφής
όπου

είτε ως προς την δεύτερη ως
όπου .

Σημειώνω ότι αυτά τα διανύσματα δεν περιγράφονται ως προς την τρίτη μεταβλητή .

Συνοψίζοντας, για κάθε ιδιοτιμή μπορείς να επιλέξεις όποια (σωστή) περιγραφή επιθυμείς, που μπορεί να είναι διαφορετική από ιδιοτιμή σε ιδιοτιμή.

[efi19]

Ωραία, ευχαριστώ πολύ. Κάτι ακόμα άσχετο. Αν έχω δύο γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του και θέλω να προσθέσω ακόμα ένα για να τα επεκτείνω σε μία βάση του μπορώ να πάρω ένα από τα μοναδιαία; (αρκεί κάποιο από τα άλλα δύο να μην είναι πολλαπλάσιό του μοναδιαίου που θα επιλέξω αν πάρω π.χ. το κανένα από τα δύο διανύσματα να μην είναι της μοεφής )

[Mihalis_Lambrou]

Ωραία, ευχαριστώ πολύ. Κάτι ακόμα άσχετο. Αν έχω δύο γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του και θέλω να προσθέσω ακόμα ένα για να τα επεκτείνω σε μία βάση του μπορώ να πάρω ένα από τα μοναδιαία; (αρκεί κάποιο από τα άλλα δύο να μην είναι πολλαπλάσιό του μοναδιαίου που θα επιλέξω αν πάρω π.χ. το κανένα από τα δύο διανύσματα να μην είναι της μοεφής )

Όχι δεν μπορείς. Π.χ. αν τα δύο διανύσματα είναι τα και τότε ικανοποιούν τις υποθέσεις σου, όμως δεν μπορείς να πάρεις ως τρίτο διάνυσμα το . O λόγος είναι γιατί το τρίτο αυτό διάνυσμα δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητο από τα άλλα δύο, καθώς

[efi19]

Φαντάζομαι ότι αν είναι γραμμικά ανεξάρτητα και τα τρία μαζί τότε είμαι οκ; Ένας έλεγχος με τη 3x3 διακρίνουσά τους να βγαίνει διαφορετική του 0 αρκεί για να πω ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα;

[Mihalis_Lambrou]

Φαντάζομαι ότι αν είναι γραμμικά ανεξάρτητα και τα τρία μαζί τότε είμαι οκ; Ένας έλεγχος με τη 3x3 διακρίνουσά τους να βγαίνει διαφορετική του 0 αρκεί για να πω ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα;

Ναι, και τα δύο που λες είναι σωστά.

[efi19]

Ευχαριστώ πολύ, να είστε καλά