Ασκήσεις για όλα τα γούστα

petros r · #1

1)Έστω οι μη αρνητικοί ακέραιοι x,y,z.

Να βρείτε όλες τις τριάδες που ικανοποιούν την $2^{x}+3^{y}=z^{2}.$

2) Έστω ισόπλευρο τρίγωνο ABC

. Ένας κύκλος εφάπτεται στο σημείο

της

και τέμνει την

στα

και

και την

στα

και

. Αποδείξτε ότι BD+AM+AN=CD+AP+AQ

3)Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της $x^{2}+y^{2}$ όπου x,y

πραγματικοί αριθμοί με $xy(x^{2}-y^{2})=x^{2}+y^{2}$ και $x\neq 0$

4)Έστω x,y

θετικοί ακέραιοι που δεν έχουν παράγοντα πρώτους αριθμούς μεγαλύτερους από 5. Βρείτε τα x,y

όταν $x^{2}-y^{2}=2^{k}$ όπου

μη αρνητικός ακέραιος.

Marios V. · #2

petros r έγραψε:1)Έστω οι μη αρνητικοί ακέραιοι Να βρείτε όλες τις τριάδες που ικανοποιούν την $2^{x}+3^{y}=z^{2}.$

α) Aν $x\neq 0$ :
z περιττός και πρέπει $z^{2} \equiv 1 (mod8)$
οπότε $2^x+3^y \equiv 1 (mod8)$
αν x=1

ή

, και

περιττός, τότε με τις δυο δοκιμές βλέπουμε πως δεν υπάρχουν λύσεις.
αν $x\geq 3, 2^{x}\equiv 0 (mod8)$ οπότε $3^y \equiv 1 (mod8)$ , και άρα y=2k

(άρτιος).
οπότε είναι $2^x+(3^k)^{2}=z^{2}$
$2^x=(z-3^{k})(z+3^{k})$
και άρα
$z-3^{k}=2^{a}$
$(z+3^{k})=2^{x-a}$
προσθέτοντας κατα μέλη:
$2z=2^{a}(2^{x-2a}+1)$
$z=2^{a-1}(2^{x-2a}+1)$
αφού z περιττός, τότε a-1=0, a=1

.
$z-3^{k}=2$
$(z+3^{k})=2^{x-1}$
αφαιρώντας κατα μέλη:
$2\times3^{k}=2(2^{x-2}-1)$
$3^{k}=2^{x-2}-1$
$2^{x-2}-3^{k}=1$ , που αν x-2,k>1

δεν έχει λύση. (Catalan)
αν x-2=0 or x-2=1

, δεν έχουμε λύση, αν k=0, x-2=0, x=2, y=0

, $z^{2}=2^{3}+1$ , δηλαδή z=3

και αν $k=1,y=2, 2^{x-2}=4, x-2=2, x=4.$ , $z^{2}=2^{4}+3^{2}=25, z=5$ .
β) αν x=0

, τότε $3^y+1=z^{2}, z^{2}-3^y=1$ , που δεν έχει λύση για y>1

. (Catalan)
για y=1, z=2,

και για

δεν έχουμε λύση.
Μοναδικές λύσεις οι (2,0,3),(4,2,5

) και

.
Δεν ξέρω αν χάνω κάπου.

petros r έγραψε: 4)Έστω θετικοί ακέραιοι που δεν έχουν παράγοντα πρώτους αριθμούς μεγαλύτερους από 5. Βρείτε τα όταν $x^{2}-y^{2}=2^{k}$ όπου μη αρνητικός ακέραιος.

( $x,y)=2^{t}$ και $2^{t}$ \displaystyle{\parallel} x,y

αν $(x_{0},y_{0},k_{0})$ μια λύση, τότε $(\frac{x_{0}}{2^{t_{0}}},\frac{y_{0}}{2^{t_{0}}},k_{0}-t_{0}})$ επίσης λύση.
οπότε αρκεί να βρούμε τις λύσεις αν (x,y)=1

.
τότε θα είναι i) $x=5^{m}, y=3^{n}$ , ή ii) το αντίθετο.
i) αν $n=0, 5^{2m}-2^{l}=1$ , που δεν έχει λύσεις (Catalan)
ii) Αν $m=0, 3^{2n}-1=2^{l}, 3^{2n}-2^{l}=1$ με μοναδική λύση n=1, l=3

. (Catalan)
i) $5^{2m}-3^{2n}=2^{l}, (5^{m}-3^{n})(5^{m}+3^{n})=2^{l}$
ii) $3^{2n}-5^{2m}=2^{l},(-5^{m}+3^{n})(5^{m}+3^{n})=2^{l}$
και στις δυο περιπτώσεις, αν

άρτιος, $5^{m}+3^{n}\equiv 2 (mod4)$ , και άρα $5^{m}+3^{n}= 2, m=n=0$ , που δεν δίνει λύση.
Αν n περιττός, τότε
i) $5^{m}-3^{n} \equiv 2 (mod4)$ , $5^{m}-3^{n}=2, 5^{m}+3^{n}=2^{l-1}$ . Προσθέτοντας κατα μέλη, $5^{m}=2^{l-2}+1$ . Που έχει μοναδική λύση την m=1, l-2=2, l=4,n=1

.(Catalan)
ii) $-5^{m}+3^{n} \equiv 2 (mod4), -5^{m}+3^{n}=2$ και $5^{m}+3^{n}=2^{l-1}$ . Προσθέτοντας κατα μέλη, $3^{n}=2^{l-2}+1$ . Που δεν έχει λύσεις που να επαληθεύουν τα προηγούμενα (Catalan+ δυο λύσεις που απορρίφθηκαν).
οπότε m=0,n=1, l=3,

ή

δηλαδή γενικά, έχουμε τις λύσεις:
$(3*2^{t},2^{t},3+2t)$ και $(5*2^{t},3*2^{t},4+2t)$

και πάλι, δεν ξέρω αν άφησα καμιά εξαίρεση πίσω.

G.Bas · #3

petros r έγραψε: 3)Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της $x^{2}+y^{2}$ όπου πραγματικοί αριθμοί με $xy(x^{2}-y^{2})=x^{2}+y^{2}$ και $x\neq 0$

Ισχύει $\displaystyle{4(x^2+y^2)=4xy(x^2-y^2)=4x(x-y)\cdot y(x+y)\leq [x(x-y)+y(x+y)]^2=(x^2+y^2)^2}$ .

Άρα, $\displaystyle{(x^2+y^2)^2\geq 4(x^2+y^2)}$

ή

$\displaystyle{x^2+y^2\geq 4}$ .

Ασκήσεις για όλα τα γούστα

Ασκήσεις για όλα τα γούστα

Re: Ασκήσεις για όλα τα γούστα

Re: Ασκήσεις για όλα τα γούστα

Μέλη σε σύνδεση