Διαγωνισμός και βαθμολογίες

[socrates]

Τρείς μαθητές, οι Α,Β,Γ, συμμετέχουν σε ένα μαθηματικό διαγωνισμό. Στο διαγωνισμό δόθηκαν για λύση 5 προβλήματα. Η μέγιστη βαθμολογία για κάθε πρόβλημα είναι θετικός ακέραιος αριθμός, διαφορετικός για κάθε πρόβλημα.
Ο μαθητής Α έλυσε πλήρως 4 από τα προβλήματα και συγκέντρωσε 21 βαθμούς, ενώ ο μαθητής Β έλυσε πλήρως 3 προβλήματα και η συνολική του βαθμολογία ήταν 22 βαθμοί.
Αν ο μαθητής Γ έλυσε πλήρως όλα τα προβλήματα, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της βαθμολογίας του.

[socrates]

Επαναφορά!

[Dimitris13]

Έστω τα προβλήματα και χωρίς βλάβη της γενικότητας ας πούμε ότι ο πρώτος έλυσε τα
Άρα οι βαθμοί του 1ου είναι
Από το θεώρημα της περιστεροφωλιάς θα έχουν λύσει με τον δεύτερο δύο κοινά προβλήματα. Έστω ότι τα προβλήματα αυτά είναι τα Α, Β.
Αν ο 2ος είχε λύσει ένα από τα Γ, Δ τότε θα έπρεπε ή (αφού είναι θετικοί) αλλά άρα άτοπο. Συνεπώς έλυσε ο δεύτερος το Ε.
Άρα οι βαθμοί του 2ου είναι
Επομένως (βαθμός 1ου) που γίνεται μέγιστο όταν A+B = 3 αφού πρόκειται για διαφορετικούς ακέραιους αριθμούς που δίνει 41 και ελάχιστο για ( και και και και) που είναι 26.