Ακέραιοι κάποιας μορφής

#1

Έστω

ένας θετικός ακέραιος.
Ποιοι ακέραιοι αριθμοί γράφονται στη μορφή $\displaystyle{ \frac{1}{x_1}+\frac{2}{x_2}+...+\frac{n}{x_n}}$

όπου x_1<x_2<...<x_n

θετικοί ακέραιοι;

Broly · #2

socrates έγραψε:Έστω ένας θετικός ακέραιος.
Ποιοι ακέραιοι αριθμοί γράφονται στη μορφή $\displaystyle{ \frac{1}{x_1}+\frac{2}{x_2}+...+\frac{n}{x_n}}$

όπου θετικοί ακέραιοι;

Έστω $k= \frac{1}{x_1}+\frac{2}{x_2}+...+\frac{n}{x_n}$ , θετικός ακέραιος.

Από την συνθήκη x_1<x_2<...<x_n

, παίρνουμε ότι $\frac{1}{x_1} \leq 1 , \frac{1}{x_2} \leq \frac{1}{2}, ... \frac{1}{x_n} \leq \frac{1}{n}$

Άρα $0<k \leq n$ και δεδομένου ότι ο k είναι θετικός ακέραιος οι αριθμοί που γράφονται στην παραπάνω μορφή εμπεριέχονται στο σύνολο A={1,2,...,n}

Για παράδειγμα , $1=\frac{1}{1} , 2=\frac{1}{1}+\frac{2}{2} , ...$

#3

Broly έγραψε:... οι αριθμοί που γράφονται στην παραπάνω μορφή εμπεριέχονται στο σύνολο

Η άσκηση όμως ζητά κάτι άλλο, πολύ ουσιαστικότερο.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #4

'Εστω

θετικός ἀκέραιος (fixed). Τότε κατ´ ἀρχάς ἔχομε ὅτι

$\displaystyle{ x_1\ge 1, x_2\ge 2, \ldots,x_n\ge n, }$

καί συνεπῶς

$\displaystyle{ \frac{x_1}{1}+\cdots+\frac{n}{x_n} \le n. }$

Θά δείξομε ὅτι γιά κατάλληλες τιμές τῶν $x_1,\ldots,x_n$ ἡ ἀνωτέρω παράσταση (τό ἀριστερό σκἐλος τῆς ἀνισότητος) λαμβάνει ὅλες τίς τιμές $1,2,\ldots,n$ .

Ἡ τιμή

λαμβάνεται γιά

$\displaystyle{ x_1= 1, x_2= 2, \ldots,x_n= n. }$

Ἔστω $1\le k<n$ . Θέτοντας

$\displaystyle{ x_1=1,x_2=2,\ldots, x_{k-1}=k-1, x_k=k(n-k+1), x_{k+1}=(k+1)(n-k+1), \ldots, x_n=n(n-k+1), }$

λαμβάνομε

$\displaystyle{ \frac{x_1}{1}+\cdots+\frac{x_n}{n}=k-1 +(n-k+1)\cdots \frac{1}{n-k+1}=k. }$

Ακέραιοι κάποιας μορφής

Ακέραιοι κάποιας μορφής

Re: Ακέραιοι κάποιας μορφής

Re: Ακέραιοι κάποιας μορφής

Re: Ακέραιοι κάποιας μορφής

Μέλη σε σύνδεση