Ελάχιστη απόσταση καμπυλών

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω
$a:I\rightarrow \mathbb{R}^{2}$
$b:J\rightarrow \mathbb{R}^{2}$

κανονικές καμπύλες που δεν έχουν κοινό σημείο

1)Αν I,J

είναι ανοικτά διαστήματα του $\mathbb{R}$ και υπάρχουν σημεία
στα οποία η απόσταση των καμπυλών παίρνει ελάχιστη τιμή
να δειχθεί ότι σε αυτά τα σημεία οι εφαπτομένες των καμπυλών είναι παράλληλες.

2)Αν I=J=[0,1]

Να δειχθεί ότι υπάρχουν $t,s \in [0,1]$ ώστε η απόσταση μεταξύ των a(t),b(s)

είναι η
ελάχιστη απόσταση μεταξύ των καμπυλών.
Σε περίπτωση που $t,s \in (0,1)$ τότε οι εφαπτομένες των καμπυλών στα
a(t),b(s)

είναι παράλληλες

σημείωση
Η καμπύλη

λέγεται κανονική αν $(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}\neq 0,t\in I$
με a(t)=(x(t),y(t))

BAGGP93 · #2

Γεια σε όλους. Γράφω μια σκέψη.

Έστω $a(t)=(a_1(t),a_2(t))\,,t\in I$ και έστω $b(s)=(b_1(s),b_2(s))\,,s\in J$

1) Η απόσταση δύο οποιωνδήποτε σημείων των παραπάνω καμπυλών δίνεται από τη συνάρτηση

$\displaystyle{f(t,s)=d^2(a,b)(t,s)=(a_1(t)-b_1(s))^2+(a_2(t)-b_2(s))^2\,,(t,s)\in I\times J}$

και από υπόθεση γνωρίζουμε ότι υπάρχει $(t_0,s_0)\in I\times J$

ώστε $f(t,s)\geq f(t_0,s_0)\,,\forall\,(t,s)\in I\times J$

Αυτό σημαίνει ότι η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f_{s_0}:I\to \mathbb{R}\,,f_{s_0}(t)=f(t,s_0)$ με παράγωγο

$\displaystyle{f_{s_0}^{\prime}(t)=2\,a_1^{\prime}(t)\,(a_1(t)-b_1(s_0))+2\,a_2^{\prime}(t)\,(a_2(t)-b_2(s_0))\,,t\in I}$

έχει ελάχιστο στο σημείο $t_0\in I$ , οπότε, από Fermat έχουμε $f_{s_0}^{\prime}(t_0)=0$ που μας δίνει

$\displaystyle{(b_2(s_0)-a_2(t_0))\,a_2^{\prime}(t_0)=(a_1(t_0)-b_1(s_0))\,a_1^{\prime}(t_0)\,\,(1)}$

Από Fermat πάλι για την $f_{t_0}:J\to \mathbb{R}\,,f_{t_0}(s)=f(t_0,s)$ έχουμε

$\displaystyle{(b_2(s_0)-a_2(t_0))\,b_2^\prime(s_0)=(a_1(t_0)-b_1(s_0))\,b_1^{\prime}(s_0)\,\,(2)}$

Αν $a_1^{\prime}(t_0)=0$ τότε σίγουρα $a_2^{\prime}(t_0)\neq 0$ και από τις σχέσεις $(1)\,,(2)$ (εκμεταλλευόμενοι ότι οι καμπύλες δεν τέμνονται)

προκύπτει $b_1^{\prime}(s_0)=0$ , οπότε οι γεννήτορες των εφαπτομένων στα σημεία $a(t_0)\,,b(s_0)$ που είναι τα διανύσματα

$a^{\prime}(t_0)=(0,a_2^{\prime}(t_0))\,,b^{\prime}(s_0)=(0,b_2^{\prime}(s_0))$ είναι παράλληλα, άρα και οι εφαπτόμενές τους.

Αν υποθέσουμε τώρα ότι $a_2^{\prime}(t_0)=0$ τότε με παρόμοιο επιχείρημα βρίσκουμε $b_2^{\prime}(s_0)=0$ οπότε πάλι οι γεννήτορες

$a^{\prime}(t_0)\,,b^{\prime}(s_0)$ είναι παράλληλοι μεταξύ των.

Στην τελευταία περίπτωση όπου $a_1^{\prime}(t_0)\,,a_2^{\prime}(t_0)\neq 0$ προκύπτει και $b_1^{\prime}(s_0)\,,b_2^{\prime}(s_0)\neq 0$

και επιπλέον, $\dfrac{a_2^{\prime}(t_0)}{a_1^{\prime}(t_0)}=\dfrac{a_1(t_0)-b_1(s_0)}{b_2(s_0)-a_2(t_0)}=\dfrac{b_2^{\prime}(s_0)}{b_1^{\prime}(s_0)}$

που σημαίνει ότι τα διανύσματα $a^{\prime}(t_0)\,,b^{\prime}(s_0)$ έχουν ίδια κλίση, άρα είναι παράλληλα.

2)Το ζητούμενο προκύπτει από το γεγονός οτι η συνάρτηση - απόσταση

$\displaystyle{f(t,s)=d(a,b)(t,s)\,,(t,s)\in\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]}$ ως συνεχής στο συμπαγές σύνολο $\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]$ παίρνει

ελάχιστη τιμή σε κάποιο $(t_0,s_0)\in\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]$ . Αν $(t_0,s_0)\in\left(0,1\right)\times \left(0,1\right)$ τότε το ζητούμενο

προκύπτει από το 1) για $I'=\left(0,1\right)\,,J'=\left(0,1\right)$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

BAGGP93 έγραψε: Δευ Απρ 13, 2020 11:07 pm Γεια σε όλους. Γράφω μια σκέψη.

Έστω $a(t)=(a_1(t),a_2(t))\,,t\in I$ και έστω $b(s)=(b_1(s),b_2(s))\,,s\in J$

1) Η απόσταση δύο οποιωνδήποτε σημείων των παραπάνω καμπυλών δίνεται από τη συνάρτηση

$\displaystyle{f(t,s)=d^2(a,b)(t,s)=(a_1(t)-b_1(s))^2+(a_2(t)-b_2(s))^2\,,(t,s)\in I\times J}$

και από υπόθεση γνωρίζουμε ότι υπάρχει $(t_0,s_0)\in I\times J$

ώστε $f(t,s)\geq f(t_0,s_0)\,,\forall\,(t,s)\in I\times J$

Αυτό σημαίνει ότι η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f_{s_0}:I\to \mathbb{R}\,,f_{s_0}(t)=f(t,s_0)$ με παράγωγο

$\displaystyle{f_{s_0}^{\prime}(t)=2\,a_1^{\prime}(t)\,(a_1(t)-b_1(s_0))+2\,a_2^{\prime}(t)\,(a_2(t)-b_2(s_0))\,,t\in I}$

έχει ελάχιστο στο σημείο $t_0\in I$ , οπότε, από Fermat έχουμε $f_{s_0}^{\prime}(t_0)=0$ που μας δίνει

$\displaystyle{(b_2(s_0)-a_2(t_0))\,a_2^{\prime}(t_0)=(a_1(t_0)-b_1(s_0))\,a_1^{\prime}(t_0)\,\,(1)}$

Από Fermat πάλι για την $f_{t_0}:J\to \mathbb{R}\,,f_{t_0}(s)=f(t_0,s)$ έχουμε

$\displaystyle{(b_2(s_0)-a_2(t_0))\,b_2^\prime(s_0)=(a_1(t_0)-b_1(s_0))\,b_1^{\prime}(s_0)\,\,(2)}$

Αν $a_1^{\prime}(t_0)=0$ τότε σίγουρα $a_2^{\prime}(t_0)\neq 0$ και από τις σχέσεις $(1)\,,(2)$ (εκμεταλλευόμενοι ότι οι καμπύλες δεν τέμνονται)

προκύπτει $b_1^{\prime}(s_0)=0$ , οπότε οι γεννήτορες των εφαπτομένων στα σημεία $a(t_0)\,,b(s_0)$ που είναι τα διανύσματα

$a^{\prime}(t_0)=(0,a_2^{\prime}(t_0))\,,b^{\prime}(s_0)=(0,b_2^{\prime}(s_0))$ είναι παράλληλα, άρα και οι εφαπτόμενές τους.

Αν υποθέσουμε τώρα ότι $a_2^{\prime}(t_0)=0$ τότε με παρόμοιο επιχείρημα βρίσκουμε $b_2^{\prime}(s_0)=0$ οπότε πάλι οι γεννήτορες

$a^{\prime}(t_0)\,,b^{\prime}(s_0)$ είναι παράλληλοι μεταξύ των.

Στην τελευταία περίπτωση όπου $a_1^{\prime}(t_0)\,,a_2^{\prime}(t_0)\neq 0$ προκύπτει και $b_1^{\prime}(s_0)\,,b_2^{\prime}(s_0)\neq 0$

και επιπλέον, $\dfrac{a_2^{\prime}(t_0)}{a_1^{\prime}(t_0)}=\dfrac{a_1(t_0)-b_1(s_0)}{b_2(s_0)-a_2(t_0)}=\dfrac{b_2^{\prime}(s_0)}{b_1^{\prime}(s_0)}$

που σημαίνει ότι τα διανύσματα $a^{\prime}(t_0)\,,b^{\prime}(s_0)$ έχουν ίδια κλίση, άρα είναι παράλληλα.

2)Το ζητούμενο προκύπτει από το γεγονός οτι η συνάρτηση - απόσταση

$\displaystyle{f(t,s)=d(a,b)(t,s)\,,(t,s)\in\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]}$ ως συνεχής στο συμπαγές σύνολο $\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]$ παίρνει

ελάχιστη τιμή σε κάποιο $(t_0,s_0)\in\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]$ . Αν $(t_0,s_0)\in\left(0,1\right)\times \left(0,1\right)$ τότε το ζητούμενο

προκύπτει από το 1) για $I'=\left(0,1\right)\,,J'=\left(0,1\right)$ .

Σωστός και αναλυτικός.

Για να το δούμε λίγο πιο σύντομα το πρώτο
Εχουμε ότι η
$f(t,s)=\left \| a(t)-b(s) \right \|^{2}$
παίρνει ελάχιστη τιμή στο (t_0,s_0)

Θα είναι
$\frac{\partial f}{\partial t}(t_{0},s_{0})=0,\frac{\partial f}{\partial s}(t_{0},s_{0})=0$
δηλαδή
$(a(t_{0})-b(s_{0})).a'(t_{0})=0,(a(t_{0})-b(s_{0})).b'(s_{0})=0$ (1)
(εσωτερικά γινόμενα είναι)
Αλλά επειδή
$(a(t_{0})-b(s_{0}))\neq 0,a'(t_{0})\neq 0,b'(s_{0})\neq 0$
οι (1) λένε ότι τα μη μηδενικά διανύσματα $a'(t_{0}),b'(s_{0})$
είναι κάθετα στο μη μηδενικό $(a(t_{0})-b(s_{0}))$
Αρα είναι παράλληλα.
Αρα οι εφαπτομένες είναι παράλληλες.

Ελάχιστη απόσταση καμπυλών

Ελάχιστη απόσταση καμπυλών

Re: Ελάχιστη απόσταση καμπυλών

Re: Ελάχιστη απόσταση καμπυλών

Μέλη σε σύνδεση