Δύσκολη (;) ανισότητα

#1

Έστω

πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε

$\displaystyle{\begin{cases} x^2+y^2+z^2+(x+y+z)^2=9 \\ xyz \leq \frac{15}{32} \end{cases}}$

Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του

(Δεν έχω λύση.)

Dimessi · #2

Έστω ότι

τότε

\textstyle \displaystyle \dfrac{\left( y+z \right)^{2}}{4}\geqslant yz=\left( y+z \right)^{2}+x\left( y+z \right)-\dfrac{9}{2}\Longrightarrow 3\left( y+z \right)^{2}+4\left( y+z \right)x+4x^{2}-18\leqslant 0

και

\textstyle \displaystyle \dfrac{3}{4}x^{2}-\dfrac{9}{2}\leqslant

\leqslant \left( y+z \right)^{2}+\left( y+z \right)x+x^{2}-\dfrac{9}{2}=yz\leqslant \dfrac{15}{32x}\Longrightarrow \left( 2x-5 \right)\left( 4x^{2}+10x+1 \right)\leqslant 0 \Longrightarrow x\leqslant \dfrac{5}{2}

και για $x=\dfrac{5}{2}$ τα y,z

είναι από Vieta οι λύσεις της εξίσωσης

16t^2+20t+3=0

με $\Delta >0$ οπότε

x_{\max}=\dfrac{5}{2}

Δύσκολη (;) ανισότητα

Δύσκολη (;) ανισότητα

Re: Δύσκολη (;) ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση