ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#461

athanasio έγραψε: Τετ Οκτ 21, 2026 9:39 am Τώρα πρόσεξα, ότι ο κ. Λάμπρου έκανε την απόδειξη.

Δεν γνωρίζω όπως φαίνεται τον ορισμό του πλήρους τετράπλευρου. Μπορεί κάποιος να τον γράψει;

Αγαπητέ κ. athanasio .
Ορισμούς και πλήρη στοιχεία πλήρους τετράπλευρου που ζητάς, και γενικώς για πολύπλευρα, θα πας εδώ:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια θα ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιathanasio Γεωμετρίας Τεύχος 1, Σελίδα βιβλίου Δ13, ή ψηφιακά 25, παράγραφος 20,
Ή, πιο εύκολα εδώ:
https://drive.google.com/file/d/1lFIXI9 ... ht-B1/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου Δ13 ή ψηφιακά 25, παράγραφος 20.

Φιλικά.
Νίκος Κυριαζής.
Ο Δανός ιστορικός Μαθηματικών Heiberg και άλλοι, ονόμασαν τον Ευκλείδη "Φειδία της Γεωμετρίας", δηλαδή καλλιτέχνη της Μαθηματικής σκέψης, καθώς το έργο του "Στοιχεία" θεωρείται ύψιστο καλλιτεχνικό Μαθηματικό δημιούργημα.

#462

ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για απόδειξη την παρακάτω νέα μου Πρόταση, Α43:
Α43. Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι χρυσά, και μεγάλη κάθετη πλευρά του ενός είναι ίση μα την μικρή κάθετη πλευρά του άλλου, τότε και η υποτείνουσα του πρώτου τριγώνου θα είναι ίση με τη μεγάλη κάθετη πλευρά του δεύτερου, και αντίστροφο αν σε δύο όμοια ορθογώνια τρίγωνα η μεγάλη κάθετη πλευρά του ενός είναι ίση μα την μικρή κάθετη πλευρά του άλλου, και η υποτείνουσα του πρώτου τριγώνου είναι ίση με τη μεγάλη κάθετη πλευρά του δεύτερου, τότε τα τρίγωνα αυτά είναι χρυσά.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.
Για την Πρόταση Α63 θα ήθελα ΚΥΡΊΩΣ την γνώμη σας, αν πρωτοεμφανίζεται εδώ ή την έχετε συναντήσει και που.

Τρεις δικές μου αποδείξεις αποδείξεις, θα ακολουθήσουν σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής, δε θα απαντώ σε λύσεις που δεν τηρούν αυτή την προϋπόθεση.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Η Γεωμετρία για μένα, εκτός των άλλων, είναι και λυτρωτική, αφού με βγάζει συχνά από τις σκέψεις των βασανιστικών προβλημάτων της ζωής, καθώς μου εκτρέπει την σκέψη, από τα προβλήματα αυτά. Είναι περιττό να αναφέρω ότι με την συνεχή αυτή έρευνα δεν πλήττω και δεν είναι δυνατόν να με κυριεύσει η ανία Εξάλλου.

#463

ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για απόδειξη την παρακάτω νέα μου Πρόταση, Α64:
Α64. Α64. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ $\left ( \angle A= 90^{\circ} \right )$ , $A\Gamma$ , αν $\Delta$ είναι η προβολή του στην $B\Gamma$ , τα , είναι τα ίχνη της διχοτόμου της γωνίας , στις $A\Delta$ , $A\Gamma$ αντίστοιχα και $\Theta$ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας $DeltaA\Gamma$ , στην $B\Gamma$ , τότε τα τμήματα , , $A\Theta$ , αποτελούν πλευρές ορθογώνιου τριγώνου, όμοιου με το τρίγωνο $AB\Gamma$ .

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.
Για την Πρόταση Α64 θα ήθελα ΚΥΡΊΩΣ την γνώμη σας, αν πρωτοεμφανίζεται εδώ ή την έχετε συναντήσει και που.

Δική μου απόδειξη , θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις. Έτσι στο εξής, δε θα απαντώ σε λύσεις που δεν τηρούν αυτή την προϋπόθεση.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Ένα άλλο μεγάλο κίνητρο για μένα, ώστε να ασχοληθώ με τη Γεωμετρία, ήταν η μεγάλη κληρονομιά που μας άφησαν οι πρόγονοί μας, σχετικά με την Γεωμετρία, που δεν με άφηνε ήσυχο.

#464

ΝΙΚΟΣ έγραψε: Παρ Νοέμ 06, 2026 10:28 am .
Α64. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ $\left ( \angle A= 90^{\circ} \right )$ , $A\Gamma$ , αν $\Delta$ είναι η προβολή του στην $B\Gamma$ , τα , είναι τα ίχνη της διχοτόμου της γωνίας , στις $A\Delta$ , $A\Gamma$ αντίστοιχα και $\Theta$ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας $DeltaA\Gamma$ , στην $B\Gamma$ , τότε τα τμήματα , , $A\Theta$ , αποτελούν πλευρές ορθογώνιου τριγώνου, όμοιου με το τρίγωνο $AB\Gamma$ .

: ορθ τρ.png (16.96 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές

.
Είναι άμεση και απλή. Γνωρίζω τουλάχιστον τέσσερις λύσεις. Θα αναρτήσω εδώ μία απλή λύση με μετρικές σχέσεις αλλά αμέσως από κάτω θα αναρτήσω κάποια στιγμή μία ακόμη απλούστερη, χωρίς μετρικές σχέσεις.

Από τα ορθογώνια τρίγωνα

BH\Delta, \, ABE, \, A\Delta \Theta

είναι, αντίστοιχα,

BH= \dfrac {B\Delta}{\cos \frac {B}{2}}, \, BE= \dfrac {AB}{\cos \frac {B}{2}}, \, A\Theta= \dfrac {A\Delta}{\cos \frac {B}{2}}

Αυτό δείχνει ότι το τρίγωνο με πλευρές

BH, BE, A\Theta

και το $AB\Delta$ είναι όμοια (ανάλογες πλευρές), και μάλιστα ο λόγος ομοιότητας είναι

\dfrac {1}{\cos \frac {B}{2}}

. Επειδή το δεύτερο είναι όμοιο με το $AB\Gamma$ έπεται η ζητούμενη ομοιότητα, και ειδικά όλα τα αναφερθέντα τρίγωνα είναι ορθογώνια (ίσες αντίστοιχες γωνίες εκ των οποίων μία είναι ορθή).

#465

ΝΙΚΟΣ έγραψε: Παρ Νοέμ 06, 2026 10:28 am .
Α64. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ $\left ( \angle A= 90^{\circ} \right )$ , $A\Gamma$ , αν $\Delta$ είναι η προβολή του στην $B\Gamma$ , τα , είναι τα ίχνη της διχοτόμου της γωνίας , στις $A\Delta$ , $A\Gamma$ αντίστοιχα και $\Theta$ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας $DeltaA\Gamma$ , στην $B\Gamma$ , τότε τα τμήματα , , $A\Theta$ , αποτελούν πλευρές ορθογώνιου τριγώνου, όμοιου με το τρίγωνο $AB\Gamma$ .

: ορθ τρ 2.png (20.48 KiB) Προβλήθηκε 35 φορές

.
Αναρτώ μια δεύτερη απλή λύση με μετρικές σχέσεις, και χρωστάω μία απλούστερη, χωρίς μετρικές σχέσεις. Την αναβάλλω προσωρινά γιατί θέλει νέο σχήμα.

Από τα όμοια τρίγωνα

ABH, \, BE\Gamma

(ίσες γωνίες) έχουμε

\dfrac {BH}{\gamma}= \dfrac {ΒΕ}{\alpha}

.

Από τα όμοια τρίγωνα

ABH, \, A\Theta \Gamma

(ίσες γωνίες) έχουμε

\dfrac {BE}{\alpha}= \dfrac {A\Theta}{\beta}

Οι δυο μαζί γράφονται

\dfrac {BH}{\gamma}= \dfrac {ΒΕ}{\alpha}= \dfrac {A\Theta}{\beta}

Αυτό δείχνει ότι το τρίγωνο με πλευρές

BH, BE, A\Theta

και το

είναι όμοια (ανάλογες πλευρές). Eιδικά, είναι και τα δύο ορθογώνια αφού είναι ορθογώνιο το δεύτερο.

ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Μέλη σε σύνδεση