MOY ZHTHΘΗΚΕ ΝΑ ΤΗ ΛΥΣΩ...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Παρακάτω δημοσιεύω μια άσκηση που μου ζητήθηκε η λύση της. Ίσως κάποιος ωφεληθεί αν την δει...
Όταν ασχολήθηκα μαζί της θυμήθηκα κάποια πράγματα από τότε που ήμουν μαθητής της Τρίτης Λυκείου και πρωτοετής φοιτητής στο Μαθηματικό της Πάτρας.

Βρείτε το όριο της ακολουθίας

\left( a_{n} \right)

με $a_{1}>0$ και

a_{n+1} =\frac{a_{n}}{1+\frac{1}{n}+a_{n}+a_{n}^{3}} ,n=1,2,3,...

και να διερευνήσετε τη σύγκλιση της παρακάτω σειράς

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{ n!}{n^{n}}a_{n} ^3

Dimessi · #2

Μήπως δίνεται a_1>0

; Τότε επαγωγικά a_n>0

για κάθε

και $a_{n+1}<a_{n}$ για κάθε

οπότε $a_{n}$ ως γνήσια φθίνουσα έχει όριο στο $\infty$ το οποίο επειδή είναι θετική είναι είτε

\ell \geqslant 0

είτε $+\infty$ που το δεύτερο δε γίνεται γιατί

\lim a_{n}=\inf a_{n}

οπότε

\lim a_{n}=\ell \geqslant 0

και άμεσα

\ell =\dfrac{\ell }{1+\ell +\ell ^3}\Longrightarrow \ell =0

και για τον γενικό όρο της σειράς

y_{n}=\dfrac{n!}{n^n}a_{n}^3

είναι

\dfrac{y_{n+1}}{y_{n}}=\dfrac{1}{\left (1+\dfrac{1}{n} \right )^n}\cdot \dfrac{1}{\left (1+\dfrac{1}{n}+a_n+a_n^3 \right)^3}

\rightarrow \dfrac{1}{e}<1

.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Dimessi έγραψε: Δευ Νοέμ 02, 2026 4:56 pm Μήπως δίνεται ;

Ναι, δίνεται ότι a_1>0

. Δικό μου η παράλειψη που έγινε κατά την πληκτρολόγηση. Συγνώμη για αυτό.
Κατά τα άλλα η παραπάνω λύση είναι ίδια με τη δική μου.

MOY ZHTHΘΗΚΕ ΝΑ ΤΗ ΛΥΣΩ...

MOY ZHTHΘΗΚΕ ΝΑ ΤΗ ΛΥΣΩ...

Re: MOY ZHTHΘΗΚΕ ΝΑ ΤΗ ΛΥΣΩ...

Re: MOY ZHTHΘΗΚΕ ΝΑ ΤΗ ΛΥΣΩ...

Μέλη σε σύνδεση