Θέματα επαναληπτικών στα Μαθηματικά

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3001
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Θέματα επαναληπτικών στα Μαθηματικά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Σεπ 04, 2019 8:05 pm

Τα θέματα των επαναληπτικών στα Μαθηματικά

https://www.ma8imatikos.gr/wp-content/u ... 190904.pdf



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12125
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Θέματα επαναληπτικών στα Μαθηματικά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Σεπ 04, 2019 9:10 pm

(Δεν γράφω σε latex γιατί προφανώς ο ιστότοπός μας έχει σήμερα κάποιο τεχνικό πρόβλημα και δεν το δέχεται. Το παρατήρησα και το πρωί. Ας το κοιτάξουν οι φίλοι μας Διαχειριστές. Θα επαναφέρω το latex μετά την διόρθωση του προβλήματος.)

Στην Άσκηση Γ1 βλέπω κάποιο θεματάκι. Μάλλον τους ξέφυγε κάτι. Θέλω να πω:

Ολοκληρώνοντας την δοθείσα βρίσκουμε f^2(x)= x+c , που με χρήση του σημείου Μ(1,1) διαπιστώνουμε ότι c=0. Οπότε f^2(x)=x και άρα για κάθε x χωριστά έχουμε πρόσημο (που εξαρτάται από το x) με f(x)=\pm \sqrt x. Αρχικά, μόνο στο x=1 έχουμε την σιγουριά του +.

Για να μπορέσουμε να πούμε ότι παίρνουμε μόνο το + (παντού) χρειάζεται ένα επιχείρημα συνέχειας. Σίγουρα η αξία του ως μέρους μιας επιστημονικά τεκμηριωμένης απάντησης αξίζει περισσότερο από τις 6 μονάδες που δίνει ο θεματοθέτης. Ξέφυγε άραγε αυτό το σημείο από τον εξεταστή; Πήρε το + σε όλα τα σημεία εργαζόμενος διαισθητικά;

Θα ήθελα να έβλεπα μία απόδειξη εντός των 6 μονάδων.

Ομολογώ ότι δεν ξέρω/δεν θυμάμαι αν υπάρχει έτοιμη αιτιολόγηση αυτού του σημείου στο βιβλίο, οπότε είμαστε εντάξει. Αλλιώς ...


Kostas2001
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 25, 2019 1:05 pm

Re: Θέματα επαναληπτικών στα Μαθηματικά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Kostas2001 » Τετ Σεπ 04, 2019 9:17 pm

Σας παραθέτω την δική μου λύση του Δ θέματος, καθώς μόλις αποφοίτησα απο τη Γ Λυκείου και μου φάνηκε αρκετά ενδιαφέρον. Οι λύσεις είναι γραπτές αλλά νομίζω οι εικόνες και η γραφή μου είναι καθαρές.

Σας ευχαριστώ.
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Πέμ Σεπ 05, 2019 8:43 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διαγραφή συνδέσμων εικόνας


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5411
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Θέματα επαναληπτικών στα Μαθηματικά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Σεπ 04, 2019 10:12 pm

Kostas2001 έγραψε:
Τετ Σεπ 04, 2019 9:17 pm
Σας παραθέτω την δική μου λύση του Δ θέματος, καθώς μόλις αποφοίτησα απο τη Γ Λυκείου και μου φάνηκε αρκετά ενδιαφέρον. Οι λύσεις είναι γραπτές αλλά νομίζω οι εικόνες και η γραφή μου είναι καθαρές.

Σας ευχαριστώ.
Εύγε !!! Καλές σπουδές !!!
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Πέμ Σεπ 05, 2019 8:44 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διαγραφή συνδέσμων εικόνας από παράθεση


Apo.Antonis
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Δευ Απρ 02, 2018 9:52 am

Re: Θέματα επαναληπτικών στα Μαθηματικά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Apo.Antonis » Τετ Σεπ 04, 2019 10:26 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Σεπ 04, 2019 9:10 pm
(Δεν γράφω σε latex γιατί προφανώς ο ιστότοπός μας έχει σήμερα κάποιο τεχνικό πρόβλημα και δεν το δέχεται. Το παρατήρησα και το πρωί. Ας το κοιτάξουν οι φίλοι μας Διαχειριστές. Θα επαναφέρω το latex μετά την διόρθωση του προβλήματος.)

Στην Άσκηση Γ1 βλέπω κάποιο θεματάκι. Μάλλον τους ξέφυγε κάτι. Θέλω να πω:

Ολοκληρώνοντας την δοθείσα βρίσκουμε f^2(x)= x+c , που με χρήση του σημείου Μ(1,1) διαπιστώνουμε ότι c=0. Οπότε f^2(x)=x και άρα για κάθε x χωριστά έχουμε πρόσημο (που εξαρτάται από το x) με f(x)=\pm \sqrt x. Αρχικά, μόνο στο x=1 έχουμε την σιγουριά του +.

Για να μπορέσουμε να πούμε ότι παίρνουμε μόνο το + (παντού) χρειάζεται ένα επιχείρημα συνέχειας. Σίγουρα η αξία του ως μέρους μιας επιστημονικά τεκμηριωμένης απάντησης αξίζει περισσότερο από τις 6 μονάδες που δίνει ο θεματοθέτης. Ξέφυγε άραγε αυτό το σημείο από τον εξεταστή; Πήρε το + σε όλα τα σημεία εργαζόμενος διαισθητικά;

Θα ήθελα να έβλεπα μία απόδειξη εντός των 6 μονάδων.

Ομολογώ ότι δεν ξέρω/δεν θυμάμαι αν υπάρχει έτοιμη αιτιολόγηση αυτού του σημείου στο βιβλίο, οπότε είμαστε εντάξει. Αλλιώς ...
Δεν μπορούμε να ολοκληρώσουμε καθώς το αόριστο ολοκλήρωμα είναι εκτός ύλης.
Με κάποιο μαγικό τρόπο διδάσκουμε πως καταλήγουμε στην σχέση f^2(x)=x

Χρειάζεται ένα εύκολο επιχείρημα ότι η f δεν έχει ρίζες (εσωτερικά) επομένως -λόγω της συνέχειας που δίνεται- διατηρεί σταθερό πρόσημο.
Στο σχολικό βιβλίο υπάρχει όμοια άσκηση στην παράγραφο της συνέχειας (άσκηση 7 Β' ομάδας)

Μήπως εννοείτε την μελέτη στο R και δεν κατάλαβα εγώ σωστά;


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Θέματα επαναληπτικών στα Μαθηματικά

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Σεπ 04, 2019 11:28 pm

Θα συμφωνήσω. Τους ξέφυγε να γράψουν ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο θέμα Γ στο (0,\infty).


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Apo.Antonis
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Δευ Απρ 02, 2018 9:52 am

Re: Θέματα επαναληπτικών στα Μαθηματικά

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Apo.Antonis » Τετ Σεπ 04, 2019 11:46 pm

Υπάρχουν εφαρμογές και ασκήσεις στο βιβλίο σε αυτή τη μορφή.


Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 290
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Θέματα επαναληπτικών στα Μαθηματικά

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Τετ Σεπ 04, 2019 11:50 pm

Δεν νομίζω ότι υπάρχει κάποιο θέμα με το Γ1
Θέμα Γ1.pdf
(30.48 KiB) Μεταφορτώθηκε 124 φορές


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12125
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Θέματα επαναληπτικών στα Μαθηματικά

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Σεπ 05, 2019 12:33 am

NIZ έγραψε:
Τετ Σεπ 04, 2019 11:50 pm
Δεν νομίζω ότι υπάρχει κάποιο θέμα με το Γ1

Θέμα Γ1.pdf
Δεν είπα ότι υπάρχει θέμα με το μαθηματικό μέρος του Γ1. Το μόνο που είπα είναι ότι οι 6 μονάδες που του δίνουν οι θεματοθέτες είναι λίγες γιατί χρειάζεται επιχείρημα συνέχειας για να καταλήξουμε στο +. Ιδού:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Σεπ 04, 2019 9:10 pm
Για να μπορέσουμε να πούμε ότι παίρνουμε μόνο το + (παντού) χρειάζεται ένα επιχείρημα συνέχειας. Σίγουρα η αξία του ως μέρους μιας επιστημονικά τεκμηριωμένης απάντησης αξίζει περισσότερο από τις 6 μονάδες που δίνει ο θεματοθέτης. Ξέφυγε άραγε αυτό το σημείο από τον εξεταστή; Πήρε το + σε όλα τα σημεία εργαζόμενος διαισθητικά;
Και η λύση που δίνεις είναι ακριβώς αυτό το επιχείρημα συνέχειας που έχω και εγώ κατά νου. Σίγουρα είναι μεγάλο μέρος της απάντησης, οπότε με πόσο άραγε αξιολογούν οι θεματοθέτες το υπόλοιπο μέρος της λύσης του Γ1, αν σε αυτό το μέρος δώσουν, ας πούμε, 4-5 μόρια; Ή μήπως αξίζει λιγότερα; Αυτό λέω και τίποτα παραπάνω.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Πέμ Σεπ 05, 2019 12:34 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Summand
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 05, 2019 12:10 am

Re: Θέματα επαναληπτικών στα Μαθηματικά

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Summand » Πέμ Σεπ 05, 2019 12:34 am

Καλησπέρα και από εμένα στην όμορφη κοινότητα του mathematica! Βλέποντας τον Κώστα να κάνει την αρχή και σαν παιδί κι εγώ που τελείωσε φέτος μπήκα στον πειρασμό να γράψω για πρώτη φορά στο forum ασχολούμενος με το θέμα Γ. Επισυνάπτω σε μορφή εικόνας τη λύση μου, διότι μόλις άρχισα να μαθαίνω latex και θα πάρει πολλή ώρα η αντιγραφή.

Φιλικά,
Γιάννης
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Πέμ Σεπ 05, 2019 8:45 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διαγραφή συνδέσμων εικόνας


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12125
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Θέματα επαναληπτικών στα Μαθηματικά

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Σεπ 05, 2019 12:54 am

Apo.Antonis έγραψε:
Τετ Σεπ 04, 2019 10:26 pm

Δεν μπορούμε να ολοκληρώσουμε καθώς το αόριστο ολοκλήρωμα είναι εκτός ύλης.
Δεν μίλησα για αόριστο ολοκλήρωμα. Με ορισμένο ολοκλήρωμα προχωράμε. Ας το κάνω λιανά:

Ολοκληρώνουμε από 0 ως X την f(x)f'(x)= 1/2. Δίνει (f^2(X) - f^2(0)) = (Χ-0)/2. Διώχνουμε το 1/2 οπότε γίνεται f^2(X)= X + f^2(0), που είναι αυτή που έγραψα αλλά έβαλα x αντί X και η σταθερά f^2(0) συμβολίστηκε ως c.


Apo.Antonis
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Δευ Απρ 02, 2018 9:52 am

Re: Θέματα επαναληπτικών στα Μαθηματικά

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Apo.Antonis » Πέμ Σεπ 05, 2019 1:06 am

κ.Λάμπρου, δεν ήταν μομφή προς εσάς ότι δεν χρησιμοποιούμε το αόριστο ολοκλήρωμα
-ούτε και την συνάρτηση ολοκλήρωμα που επίσης είναι εκτός (* εκτός της τυπολατρικής αναπαραγωγής της απόδειξης) -

το "μαγικό" που διδάσκουμε μέμφομαι.
τελευταία επεξεργασία από Apo.Antonis σε Πέμ Σεπ 05, 2019 1:09 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12125
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Θέματα επαναληπτικών στα Μαθηματικά

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Σεπ 05, 2019 1:08 am

Apo.Antonis έγραψε:
Πέμ Σεπ 05, 2019 1:06 am
κ.Λάμπρου, δεν ήταν μομφή προς εσάς ότι δεν χρησιμοποιούμε το αόριστο ολοκλήρωμα
-ούτε και την συνάρτηση ολοκλήρωμα που επίσης είναι εκτός-

το "μαγικό" που διδάσκουμε μέμφομαι.

Αντώνη, έχεις δίκιο. Να ΄σαι καλά.


pana1333
Δημοσιεύσεις: 1036
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Θέματα επαναληπτικών στα Μαθηματικά

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Τετ Σεπ 11, 2019 6:08 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Σεπ 04, 2019 9:10 pm
(Δεν γράφω σε latex γιατί προφανώς ο ιστότοπός μας έχει σήμερα κάποιο τεχνικό πρόβλημα και δεν το δέχεται. Το παρατήρησα και το πρωί. Ας το κοιτάξουν οι φίλοι μας Διαχειριστές. Θα επαναφέρω το latex μετά την διόρθωση του προβλήματος.)

Στην Άσκηση Γ1 βλέπω κάποιο θεματάκι. Μάλλον τους ξέφυγε κάτι. Θέλω να πω:

Ολοκληρώνοντας την δοθείσα βρίσκουμε f^2(x)= x+c , που με χρήση του σημείου Μ(1,1) διαπιστώνουμε ότι c=0. Οπότε f^2(x)=x και άρα για κάθε x χωριστά έχουμε πρόσημο (που εξαρτάται από το x) με f(x)=\pm \sqrt x. Αρχικά, μόνο στο x=1 έχουμε την σιγουριά του +.

Για να μπορέσουμε να πούμε ότι παίρνουμε μόνο το + (παντού) χρειάζεται ένα επιχείρημα συνέχειας. Σίγουρα η αξία του ως μέρους μιας επιστημονικά τεκμηριωμένης απάντησης αξίζει περισσότερο από τις 6 μονάδες που δίνει ο θεματοθέτης. Ξέφυγε άραγε αυτό το σημείο από τον εξεταστή; Πήρε το + σε όλα τα σημεία εργαζόμενος διαισθητικά;

Θα ήθελα να έβλεπα μία απόδειξη εντός των 6 μονάδων.

Ομολογώ ότι δεν ξέρω/δεν θυμάμαι αν υπάρχει έτοιμη αιτιολόγηση αυτού του σημείου στο βιβλίο, οπότε είμαστε εντάξει. Αλλιώς ...
Κύριε Μιχάλη καλημέρα. Τι λέτε για αυτή την βαθμολογία - λύση;

Είναι 2f'(x)f(x)=1\Leftrightarrow (f^2(x))'=(x)'\Leftrightarrow f^2(x)=x+c και αφού f(1)=1 έχουμε c=0 άρα \left | f(x) \right |=\sqrt{x} (Μονάδες3)

Η συνάρτηση f μηδενίζεται μόνο στο μηδέν αφού f(x)=0\Leftrightarrow f^2(x)=0\Leftrightarrow \sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0 (Μονάδες 2) και είναι συνεχής άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (0,+\infty ) και επειδή f(1)=1>0 είναι f(x)>0 για κάθε x>0. (Μονάδες 1)
Άρα f(x)=\sqrt{x} για κάθε x\succeq 0


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 954
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Θέματα επαναληπτικών στα Μαθηματικά

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Παρ Μαρ 27, 2020 3:25 pm

Επειδή το Θέμα Δ είναι αξιόλογο , ας υπάρχει μια λύση στο mathematica...
Για λόγους πληρότητας της δημοσίευσης θα γράψω την διατύπωση.


ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} , με τύπο \displaystyle f\left ( x \right )=\frac{x^{3}}{3x^{2}-3x+1} .

Δ1.Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}.
ΜΟΝΑΔΕΣ 4

Δ2.Να αποδείξετε ότι f\left ( x \right )+f\left (1-x  \right )=1 για κάθε x\epsilon \mathbb{R} (μονάδες 2) και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f , τον άξονα x'x και την ευθεία x=1 ισούται με \displaystyle\frac{1}{2} (μονάδες 4).
ΜΟΝΑΔΕΣ 6
Δ3.Να αποδείξετε ότι \displaystyle\int_{0}^{1}2f^{2}\left ( x \right )dx< 1
ΜΟΝΑΔΕΣ 6
Δ4.Nα λύσετε στο διάστημα \displaystyle\left ( 0,\frac{\pi }{2} \right ) την εξίσωση
f\left ( \eta \mu ^{2} x \right )+f\left ( \sigma \upsilon \nu ^{2}x \right )=f\left ( \varepsilon \varphi x\cdot e^{\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x} \right )

ΜΟΝΑΔΕΣ 9

Aς δούμε και την διαπραγμάτευση του θέματος...


Δ1. \displaystyle f'\left ( x \right )=\frac{\left ( x^{3} \right )'\left ( 3x^{2}-3x+1 \right )-x^{3}\left ( 3x^{2}-3x+1   \right )'}{\left (3x^{2}-3x+1  \right )^{2}}=\frac{3x^{2}\left ( 3x^{2}-3x+1 \right )-x^{3}\left ( 6x-3 \right )}{\left (3x^{2}-3x+1  \right )^{2}}=

\displaystyle\frac{9x^{4}-9x^{3}+3x^{2}-6x^{4}+3x^{3}}{\left (3x^{2}-3x+1  \right )^{2}}=\frac{3x^{4}-6x^{3}+3x^{2}}{\left (3x^{2}-3x+1  \right )^{2}}=\frac{3x^{2}\left ( x^{2}-2x+1 \right )}{\left (3x^{2}-3x+1  \right )^{2}}=\frac{3x^{2}\left (x-1 \right )^{2}}{\left (3x^{2}-3x+1  \right )^{2}}\geq0

για κάθε x που ανήκει στους πραγματικούς αριθμούς.

Η f' μηδενίζεται στις θέσεις 0 και 1.

Συνεπώς η η f είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}.

Δ2. \displaystyle f\left ( x \right )+f\left ( 1-x \right )=\frac{x^{3}}{3x^{2}-3x+1}+\frac{\left ( 1-x \right )^{3}}{3\left ( 1-x \right )^{2}-3\left ( 1-x \right )+1}=

\displaystyle =\frac{x^{3}}{3x^{2}-3x+1}+\frac{\left ( 1-x \right )^{3}}{3\left ( 1-2x+x^{2} \right )-3+3x+1}=\frac{x^{3}}{3x^{2}-3x+1}+\frac{\left ( 1-x \right )^{3}}{3-6x+3x^{2}-3+3x+1}=

\displaystyle =\frac{x^{3}}{3x^{2}-3x+1}+\frac{\left ( 1-x \right )^{3}}{3x^{2}-3x+1}=\frac{x^{3}+\left ( 1-x \right )^{3}}{3x^{2}-3x+1}=\frac{x^{3}+1-3x+3x^{2}-x^{3}}{3x^{2}-3x+1}=1

Θα αποδειχθεί ότι \displaystyle\int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx=\frac{1}{2}

Θέτω \displaystyle u=1-x\Leftrightarrow x=1-u και έτσι dx=-du

Συνεπώς \displaystyle\int_{0}^{1}f\left (1- x \right )dx=-\int_{1}^{0}f\left (u \right )du=\int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx

Iσχύει ότι \displaystyle \int_{0}^{1}\left [ f\left ( x \right )+f\left ( 1-x \right ) \right ]dx=\int_{0}^{1}1dx κάτι που συνεπάγεται ότι

\displaystyle \int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx+\int_{0}^{1}f\left ( 1-x \right )dx=1 και αυτό με την σειρά του

\displaystyle\int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx+\int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx=1 και έτσι \displaystyle\int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx=\frac{1}{2}

Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων (αφού f(0)=0 ) και f\left ( x \right )\geqslant 0 για κάθε x\epsilon \left [ 0,1 \right ]

Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με το  \displaystyle \int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx που όπως είδαμε είναι ίσο με \displaystyle \frac{1}{2}

Δ3. Έχουμε ήδη δει ότι f\left ( x \right )\geqslant 0 για κάθε x\epsilon \left [ 0,1 \right ]

\displaystyle1-f\left ( x \right )=1-\frac{x^{3}}{3x^{2}-3x+1}=\frac{3x^{2}-3x+1-x^{3}}{3x^{2}-3x+1}=\frac{\left ( 1-x \right )^{3}}{3x^{2}-3x+1}\geq 0 για κάθε x\epsilon \left [ 0,1 \right ]


Έτσι 0\leq f\left ( x \right )\leq 1 για κάθε x\epsilon \left [ 0,1 \right ]

Συνεπώς f^{2}\left ( x \right )\leq f\left ( x \right ) για κάθε x\epsilon \left [ 0,1 \right ]



H συνάρτηση f\left ( x \right )-f^{2}\left ( x \right ) δεν είναι παντού μηδέν στο  \left [ 0,1 \right ] μολονότι είναι μη αρνητική στο διάστημα αυτό.

Άρα μπορεί να γραφεί ότι \displaystyle\int_{0}^{1}\left [ f\left ( x \right )-f^{2}\left ( x \right ) \right ]dx> 0 και αυτό σημαίνει \displaystyle\int_{0}^{1} f\left ( x \right )dx>\int_{0}^{1}f^{2}\left ( x \right ) dx

Άρα λοιπόν \displaystyle\int_{0}^{1} f^{2}\left ( x \right )dx< \frac{1}{2}

δηλαδή 2\displaystyle\int_{0}^{1} f^{2}\left ( x \right )dx< 1 και έτσι \displaystyle\int_{0}^{1}2 f^{2}\left ( x \right )dx< 1

Δ4. Από την ταυτότητα \eta \mu ^{2} x+\sigma \upsilon \nu ^{2}x=1 και από το πρώτο κομμάτι του Δ2 η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

1=f\left ( \varepsilon \varphi x\cdot e^{\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x} \right )

Η τελευταία ισοδυναμεί με f\left ( 1 \right )=f\left ( \varepsilon \varphi x\cdot e^{\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x} \right )

Είδαμε στο Δ1 ότι η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle\mathbb{R} άρα και 1-1 σε αυτό.

Συνεπώς ισοδύναμα έχουμε ότι  1 = \varepsilon \varphi x\cdot e^{\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x}

Σίγουρα ο αριθμός \displaystyle\frac{\pi }{4} είναι λύση της εξίσωσης . Θα αποδείξουμε ότι είναι και μοναδική.

Έστω η συνάρτηση h\left ( x \right )=\varepsilon \varphi x\cdot e^{\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x} , \displaystyle x\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )

\displaystyle h'\left ( x \right )=\left ( \varepsilon \varphi x \right )'e^{\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x}+\varepsilon \varphi x\left ( e^{\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x}  \right )'=\frac{1}{\sigma \upsilon \nu ^{2}x}e^{\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x}+\varepsilon \varphi xe^{\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x}\left ( \sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x \right )'=

 \displaystyle e^{\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x}\left [ \frac{1}{\sigma \upsilon \nu ^{2}x} +\varepsilon \varphi x\left ( -\eta \mu x-\sigma \upsilon \nu x \right )\right ]=e^{\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x}\left [ \frac{1}{\sigma \upsilon \nu ^{2}x} +\frac{\eta \mu x}{\sigma \upsilon \nu x}\left ( -\eta \mu x-\sigma \upsilon \nu x \right )\right ]=

 =\displaystyle e^{\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x}\frac{1-\eta \mu ^{2}x\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x\sigma \upsilon \nu ^{2}x}{\sigma \upsilon \nu ^{2}x} =e^{\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x}\frac{\sigma \upsilon \nu ^{2}x+\eta \mu  ^{2}x-\eta \mu ^{2}x\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x\sigma \upsilon \nu ^{2}x}{\sigma \upsilon \nu ^{2}x} =

\displaystyle=e^{\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x}\frac{\eta \mu ^{2}x\left ( 1-\sigma \upsilon \nu x \right )+\sigma \upsilon \nu ^{2}x\left ( 1-\eta \mu x \right ) }{\sigma \upsilon \nu ^{2}x}> 0 για κάθε \displaystyle  x\epsilon \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )

Άρα η h\left ( x \right ) είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle   \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )

Άρα ο αριθμός \displaystyle\frac{\pi }{4} είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης που μας έδωσαν.

Κάτι δεν έγραψα καΛά , έγινε κάποιο λάθος το οποίο και διόρθωσα...
Ευχαριστώ τον Χρήστο και τον Θανάση για την επισήμανση.
τελευταία επεξεργασία από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ σε Σάβ Μαρ 28, 2020 10:06 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1834
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Θέματα επαναληπτικών στα Μαθηματικά

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Παρ Μαρ 27, 2020 7:20 pm

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Παρ Μαρ 27, 2020 3:25 pm

Δ4.Nα λύσετε στο διάστημα \displaystyle\left ( 0,\frac{\pi }{2} \right ) την εξίσωση
f\left ( \eta \mu ^{2} x \right )+f\left ( \sigma \upsilon \nu ^{2}x \right )=f\left ( \varepsilon \varphi x\cdot e^{\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x} \right )

ΜΟΝΑΔΕΣ 9
Δ4. Από την ταυτότητα \eta \mu ^{2} x+\sigma \upsilon \nu ^{2}x=1 και από το πρώτο κομμάτι του Δ2 η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

1=f\left ( \varepsilon \varphi x\cdot e^{\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x} \right )

Η τελευταία ισοδυναμεί με f\left ( 1 \right )=f\left ( \varepsilon \varphi x\cdot e^{\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x} \right )

Είδαμε στο Δ1 ότι η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο  \displaystyle\left ( 0,\frac{\pi }{2} \right ) {\color{Red} \bigstar } άρα και 1-1 σε αυτό.

Συνεπώς ισοδύναμα έχουμε ότι  1 = \varepsilon \varphi x\cdot e^{\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x} \Leftrightarrow \frac{e^{\sigma \upsilon \nu x}}{\sigma \upsilon \nu x}=\frac{e^{\eta \mu x}}{\eta \mu x}

Έστω η συνάρτηση h\left ( x \right )=\frac{e^x}{x},x\in(0,1)

\displaystyle h'\left ( x \right )=\frac{e^x(x-1)}{x^2}<0

Άρα η h\left ( x \right ) είναι γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle   \left ( 0,1 \right ) άρα και 1-1.

για 0<x<\frac{\pi}{2} θα είναι 0<\sigma \upsilon \nu x,\eta \mu x<1

άρα h(\sigma \upsilon \nu x)=h(\eta \mu x) \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x=\eta \mu x \Leftarightarrow x=\frac{\pi}{4}

Υ.Γ.: {\color{Red} \bigstar } Όπως μου επισήμανε ο Θανάσης (socrates) το πεδίο ορισμού του ορίσματος της συνάρτηση f στο δεύτερο μέλος της ισότητας είναι το σύνολο \mathbb{R} και όχι το φτωχό \left( 0,\frac{\pi }{2} \right ) άρα είναι μεν "1-1" αλλά στο \mathbb{R}
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Παρ Μαρ 27, 2020 8:53 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 836
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm

Re: Θέματα επαναληπτικών στα Μαθηματικά

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από apotin » Παρ Μαρ 27, 2020 7:45 pm

Για το Δ.2
Είναι

\displaystyle 3{x^2} - 3x + 1 = 1 - 3x + 3{x^2} - {x^3} + {x^3} = {\left( {1 - x} \right)^3} + {x^3}

οπότε

\displaystyle f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = \frac{{{x^3}}}{{3{x^2} - 3x + 1}} + \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}{{3{{\left( {1 - x} \right)}^2} - 3\left( {1 - x} \right) + 1}} =

\displaystyle  = \frac{{{x^3}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3} + {x^3}}} + \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}{{{x^3} + {{\left( {1 - x} \right)}^3}}} = \frac{{{x^3} + {{\left( {1 - x} \right)}^3}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3} + {x^3}}} = 1


Αποστόλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Πανελλήνιες Εξετάσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης