Σ.Μ.Α. 1966 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Αν σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu A+\sigma\upsilon\nu B=4\eta\mu^2\frac{\Gamma}{2}}$ , τότε οι πλευρές του τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

2. Εαν $\displaystyle{\frac{1}{\sigma\upsilon\nu A} -\varepsilon \phi A=\lambda}$ , να δειχθεί οτι θα ισχύει και $\displaystyle{\frac{1}{\eta\mu A} -\sigma \phi A=\frac{1-\lambda}{1+\lambda }}$ . Επίσης να βρεθεί το $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu A}$ συναρτήσει του $\displaystyle{\lambda}$ .,

3. Να τεθεί η παράσταση $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu^4 x\eta\mu x}$ στην μορφή $\displaystyle{C_1 \eta\mu x+ C_2 \eta\mu 3x+ C_5 \eta\mu 5x}$ όπου $\displaystyle{C_1,C_3,C_5}$ προσδιοριστέοι αριθμοί.

4. Να βρεθούν οι συνθήκες τις οποίες πρέπει να πληρούν τα $\displaystyle{\alpha,\beta}$ ώστε το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \varepsilon \phi x=\alpha \sigma\phi y \\ \varepsilon \phi 2x=\beta \sigma\phi 2y \end{cases}}$ να έχει λύση.

5. Να αποδειχθεί οτι σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{\eta\mu^2A+\eta\mu^2B+\eta\mu^2\Gamma\le \frac{9}{4}}$

Paolos · #2

2. Εαν $\displaystyle{\frac{1}{\sigma\upsilon\nu A} -\varepsilon \phi A=\lambda}$ , να δειχθεί οτι θα ισχύει και $\displaystyle{\frac{1}{\eta\mu A} -\sigma \phi A=\frac{1-\lambda}{1+\lambda }}$ . Επίσης να βρεθεί το $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu A}$ συναρτήσει του $\displaystyle{\lambda}$ .

Από τη σχέση της υπόθεσης έχουμε ότι
$\displaystyle{\frac{1}{\sigma \upsilon \nu A}-\varepsilon \varphi A=\lambda \Rightarrow \frac{1}{\sigma \upsilon \nu A}-\frac{\eta \mu A}{\sigma \upsilon \nu A}=\lambda \Rightarrow \frac{1-\eta \mu A}{\sigma \upsilon \nu A}=\lambda .}$

Άρα
$\displaystyle{\frac{1}{\eta \mu A}-\sigma \varphi A=\frac{1-\lambda }{1+\lambda }\Leftrightarrow \frac{1}{\eta \mu A}-\frac{\sigma \upsilon \nu A}{\eta \mu A}=\frac{1-\frac{1-\eta \mu A}{\sigma \upsilon \nu A}}{1+\frac{1-\eta \mu A}{\sigma \upsilon \nu A}}\Leftrightarrow \frac{1-\sigma \upsilon \nu A}{\eta \mu A}=\frac{\frac{\sigma \upsilon \nu A-1+\eta \mu A}{\sigma \upsilon \nu A}}{\frac{\sigma \upsilon \nu A+1-\eta \mu A}{\sigma \upsilon \nu A}}\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\frac{1-\sigma \upsilon \nu A}{\eta \mu A}=\frac{\sigma \upsilon \nu A-1+\eta \mu A}{\sigma \upsilon \nu A+1-\eta \mu A}\Leftrightarrow \left( \sigma \upsilon \nu A-1+\eta \mu A \right)\eta \mu A=\left( 1-\sigma \upsilon \nu A \right)\left( \sigma \upsilon \nu A+1-\eta \mu A \right)\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\cancel{\sigma \upsilon \nu A\eta \mu A}\bcancel{-\eta \mu A}+\eta {{\mu }^{2}}A=+1\bcancel{-\eta \mu A}-\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}A+\cancel{\eta \mu A\sigma \upsilon \nu A}\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\eta {{\mu }^{2}}A+\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}A=1}$ , το οποίο ισχύει.
Οπότε λόγω των ισοδυναμιών ισχύει και το αρχικό.

Εύρεση του $\displaystyle{x=\sigma \upsilon \nu A:}$

Έχουμε ότι

$\displaystyle{\frac{1}{\sigma \upsilon \nu A}-\varepsilon \varphi A=\lambda \Rightarrow \frac{1-\eta \mu A}{x}=\lambda \Rightarrow \eta \mu A=1-\lambda x.}$
Αποδείξαμε ότι
$\displaystyle{\frac{1}{\eta \mu A}-\sigma \varphi A=\frac{1-\lambda }{1+\lambda }\Rightarrow \frac{1}{\eta \mu A}-\frac{x}{\eta \mu A}=\frac{1-\lambda }{1+\lambda }\Rightarrow \frac{1-x}{1-\lambda x}=\frac{1-\lambda }{1+\lambda }.}$
Λύνοντας ως προς $\displaystyle{x}$ την τελευταία παίρνουμε
${\color{magenta}\fbox{\displaystyle{x=\frac{2\lambda }{{{\lambda }^{2}}+1}}}$ .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

5. Να αποδειχθεί οτι σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{\eta\mu^2A+\eta\mu^2B+\eta\mu^2\Gamma\le \frac{9}{4}}$

Πρόκειται για την πασίγνωστη ανισότητα $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 9R^{2}$ , ενδεδυμένη με τον τριγωνομετρικό της μανδύα. Αν χρησιμοποιηθεί ο νόμος του ημιτόνου , είναι απλό να αποδειχθεί η ισοδυναμία των δυο αυτών ανισοτήτων.
Ας αποδειχθεί η ανισότητα $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 9R^{2}$ λοιπόν....

Έστω $\Theta$ το βαρύκεντρο του τριγώνου ABC

.

Θα αποδείξω ότι η δύναμη του βαρυκέντρου $\Theta$ τριγώνου $\rm AB\Gamma$ ως προς τον
περιγεγραμμένο του κύκλο είναι ίση με $\frac{\alpha ^{2}+\beta^{2}+\gamma ^{2} }{9}$ .

Έστω ότι η διάμεσος

του τριγώνου μας τέμνει τον περιγεγραμμένο του κύκλο στο

, αν προεκταθεί.
$A\Theta \cdot \Theta E=A\Theta \left(\Theta M+ME \right)=\frac{2}{3}AM\frac{1}{3}AM+\frac{2}{3}AM\cdot ME=\frac{2}{9}AM^{2}+\frac{2}{3}BM\cdot M\Gamma =\frac{2}{9}\frac{2\beta ^{2}+2\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}{4}+\frac{2}{3}\frac{\alpha }{2}\frac{\alpha }{2}=\frac{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}{9}$ .

Άρα αν

το περίκεντρο του τριγώνου $\rm AB\Gamma$ , τότε
$O\Theta ^{2}=R^{2}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{9}$ .

Αφού όμως $O\Theta ^{2}\geq0$ , προκύπτει άμεσα η ανισότητα $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 9R^{2}$ .

Όμορφο θέμα ....
Η παραπάνω λύση θα πέρναγε το 1966 , γιατί η χρήση γεωμετρίας σε θέματα τριγωνομετρίας επιτρεπόταν ....
Το αντίστροφο απαγορευόταν ....
Τουλάχιστον αυτά μου έλεγαν οι παλιοί μαθηματικοί.....

#4

Όπως λέει και ο Τηλέμαχος, πρόκειται για κλασικότατη ανισότητα στο τρίγωνο. Ας δούμε και μια απόδειξη με διανυσματικό λογισμό.

Ας είναι $\displaystyle{O}$ το περίκεντρο του τριγώνου και ας θέσουμε $\displaystyle{\vec{a}=\overrightarrow{OA},\vec{b}=\overrightarrow{OB},\vec{c}=\overrightarrow{OC}.}$

Είναι

$\displaystyle{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2\geq 0\implies \vec{a}^2+\vec{b}^2+\vec{c}^2+2(\vac{a}\vec{b}+\vac{b}\vec{c}+\vac{c}\vec{a})\geq 0\implies }$

$\displaystyle{3R^2+2R^2(\cos \widehat {\vec{a},\vec{b}}+\cos \widehat {\vec{b},\vec{c}}+\cos \widehat {\vec{c},\vec{a}})\geq 0\implies \cos 2A+\cos 2B+\cos 2C\geq -\frac{3}{2}.}$

Εφαρμόζουμε την ταυτότητα $\displaystyle{\rm \cos 2x=1-2\sin ^2x}$ και τελειώσαμε.

#5

parmenides51 έγραψε:1. Αν σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu A+\sigma\upsilon\nu B=4\eta\mu^2\frac{\Gamma}{2}}$ , τότε οι πλευρές του τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu {\rm A} + \sigma \upsilon \nu {\rm B} = 4\eta {\mu ^2}\frac{\Gamma }{2} = 2(1 - \sigma \upsilon \nu \Gamma )}$
Εφαρμόζω το νόμο των συνημιτόνων
$\displaystyle{\frac{{{\beta ^2} + {\gamma ^2} - {\alpha ^2}}}{{2\beta \gamma }} + \frac{{{\alpha ^2} + {\gamma ^2} - {\beta ^2}}}{{2\alpha \gamma }} = 2\left( {1 - \frac{{{\alpha ^2} + {\beta ^2} - {\gamma ^2}}}{{2\alpha \beta }}} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{\beta ^2}\alpha + {\gamma ^2}\alpha - {\alpha ^3} + {\alpha ^2}\beta + {\gamma ^2}\beta - {\beta ^3} = 2\left( {2\alpha \beta \gamma - {\alpha ^2}\gamma - {\beta ^2}\gamma + {\gamma ^3}} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\alpha \beta (\alpha + \beta ) + {\gamma ^2}(\alpha + \beta ) - [{(\alpha + \beta )^3} - 3\alpha \beta (\alpha + \beta )] = 2\gamma ({\gamma ^2} - {\alpha ^2} - {\beta ^2} + 2\alpha \beta ) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(\alpha + \beta )(\alpha \beta + {\gamma ^2} - {\alpha ^2} - 2\alpha \beta - {\beta ^2} + 3\alpha \beta ) = 2\gamma ({\gamma ^2} - {\alpha ^2} - {\beta ^2} + 2\alpha \beta ) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(\alpha + \beta )\left( {{\gamma ^2} - {{(\alpha - \beta )}^2}} \right) = 2\gamma \left( {{\gamma ^2} - {{(\alpha - \beta )}^2}} \right) \Leftrightarrow \left( {{\gamma ^2} - {{(\alpha - \beta )}^2}} \right)(\alpha + \beta - 2\gamma ) = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(\gamma - \alpha + \beta )(\gamma + \alpha - \beta )(\alpha + \beta - 2\gamma ) = 0 \Leftrightarrow \gamma = \frac{{\alpha + \beta }}{2}}$
(Οι δύο πρώτες παρενθέσεις δεν μπορούν να μηδενιστούν λόγω της τριγωνικής ανισότητας)
Άρα οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha ,\gamma ,\beta }$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

Σ.Μ.Α. 1966 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Σ.Μ.Α. 1966 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1966 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1966 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1966 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1966 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση