Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (1)

dement · #1

Μόλις τελειώσαμε τις εισαγωγικές εξετάσεις και για φέτος, οπότε αρχίζουμε...

Έστω

, για

, ακολουθία πραγματικών αριθμών, όχι όλων

, τέτοια ώστε $\displaystyle a_{n+2} = \frac{6}{5} a_{n+1} - a_n$ για κάθε $n \geqslant 0$ .

1. Αποδείξτε ότι υπάρχει μοναδικό $\theta \in \mathbb{R}$ με $0 \leqslant \theta < 2 \pi$ τέτοιο ώστε $\displaystyle \cos \theta = \frac{3}{5}, \sin \theta = \frac{4}{5}$ .

2. Αποδείξτε ότι υπάρχουν μοναδικά r > 0

και $\alpha$ με $0 \leqslant \alpha < 2 \pi$ τέτοια ώστε, για κάθε $n \geqslant 0$ , να ισχύει $a_n = r \cos ( \alpha + n \theta)$ .

3. Από το (2) διαπιστώνουμε ότι η ακολουθία (a_n)

είναι φραγμένη. Δείξτε ότι, παρ' όλα αυτά, η ακολουθία (a_n)

δεν είναι περιοδική και μάλιστα δεν παίρνει την ίδια τιμή περισσότερες από δύο φορές.

4. Αποδείξτε ότι η ακολουθία (a_n)

παίρνει άπειρες θετικές και άπειρες αρνητικές τιμές.

dement · #2

Επαναφορά!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Το 1) το παραλείπω ως τετριμμένο. Μάλιστα $0<\theta < \frac{\pi }{2}$
Το 2)
Η χαρακτηριστική είναι $5x^{2}-6x+5=0$

που έχει σαν ρίζες τα $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta },\cos \theta -i\sin \theta =e^{-i\theta }$

Από την γνωστή θεωρία είναι $x_{n}=de^{in\theta }+be^{-in\theta }$

με d,b

που προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

Εύκολα βλέπουμε ότι $b=\bar{d}$

Αρα $x_{n}=2Re(de^{in\theta })$ . Γράφοντας $d=\left | d \right |e^{ia},0\leq a< 2\pi$

παίρνουμε το ζητούμενο με $r=2\left | d \right |$ .

(επειδή δεν είναι όλα

είναι

)

το 3)Αν δύο όροι της ακολουθίας είναι ίσοι θα έχουμε για $m,n\in \mathbb{N}$

$n\theta +a=m\theta+a+2k\pi , or ,n\theta +a+m\theta+a=2k\pi$ (1)

Τώρα αρχίζουν τα ωραία.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο $\cos (n+1)\theta +\cos (n-1)\theta =2\cos n\theta \cos \theta$

με επαγωγή μπορούμε να δείξουμε ότι $\cos n\theta =P_{n}(\cos \theta)$

όπου $P_{n}(x)$ πολυώνυμο

βαθμού και $P_{n}(x)=2^{n-1}x^{n}+.....$
(έχουν και όνομα αυτά Chebyshev)

Στην (1) δεν μπορεί να ισχύει η πρώτη γιατί αν ίσχυε θα είχαμε για κάποιο

ότι $P_{l}(\cos \theta )=1$

και αυτό δεν γίνεται αφού $\cos \theta =\frac{3}{5}$ και το

δεν διαιρεί το $2^{l-1}$

Η δεύτερη δεν μπορεί να ισχύει για τρία γιατί από τις $n\theta +a+m\theta+a=2k\pi$

$n\theta +a+l\theta+a=2r\pi$ καταλήγουμε αφαιρώντας στην προηγούμενη περίπτωση.

το 4) Προκύπτει άμεσα γιατί σε κάθε τεταρτημόριο υπάρχουν το πολύ δύο διαδοχικά από τα $n\theta +a$

το $\frac{\pi }{4}< \theta < \frac{\pi }{2}$

dement · #4

Πολύ ωραία. Προσθέτω μόνο ότι οι υποψήφιοι δεν αναμένεται να είναι εξοικειωμένοι με τη θεωρία του χαρακτηριστικού πολυωνύμου της αναδρομικής εξίσωσης. Γι' αυτό η απάντηση τους δίνεται έτοιμη. Αποδεικνύουν τη μοναδικότητα από τους δύο πρώτους όρους της ακολουθίας και με επαγωγή για τους υπόλοιπους.

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (1)

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (1)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (1)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (1)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (1)

Μέλη σε σύνδεση