Ρητοί και άρρητοι

#1

Δίνεται ο αριθμός:

$\displaystyle{A=\frac{\sqrt{8}+\sqrt{27}}{\sqrt{k}+\sqrt{2}} -\sqrt{6}}$

όπου ο $\displaystyle{k}$ είναι ρητός.

Για ποια (ή ποιες) τιμές του $\displaystyle{k}$ , ο αριθμός $\displaystyle{A}$ είναι ρητός;

#2

Δημήτρη, μετά το κλάσμα το πρόσημο μήπως είναι

;;

#3

rek2 έγραψε: Τετ Ιαν 18, 2023 11:54 am Δημήτρη, μετά το κλάσμα το πρόσημο μήπως είναι ;;

Κώστα, ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ
Υπάρχει μία τουλάχιστον ρητή τιμή του $\displaystyle{k}$ , ώστε ο $\displaystyle{A}$ να είναι ρητός.
Και αν δεν κάνω λάθος είναι και η μοναδική

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Τετ Ιαν 18, 2023 1:53 pm
rek2 έγραψε: Τετ Ιαν 18, 2023 11:54 am Δημήτρη, μετά το κλάσμα το πρόσημο μήπως είναι ;;
Κώστα, ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ
Υπάρχει μία τουλάχιστον ρητή τιμή του $\displaystyle{k}$ , ώστε ο $\displaystyle{A}$ να είναι ρητός.
Και αν δεν κάνω λάθος είναι και η μοναδική

Καλή Χρονιά Δημήτρη.
Δεν κάνεις λάθος.
Ακριβώς όπως τα λες είναι.

#5

Επαναφορά!

#6

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Πέμ Δεκ 29, 2022 9:35 pm Δίνεται ο αριθμός:

$\displaystyle{A=\frac{\sqrt{8}+\sqrt{27}}{\sqrt{k}+\sqrt{2}} -\sqrt{6}}$

όπου ο $\displaystyle{k}$ είναι ρητός.

Για ποια (ή ποιες) τιμές του $\displaystyle{k}$ , ο αριθμός $\displaystyle{A}$ είναι ρητός;

Απάντηση: Μοναδική τιμή η $k= \dfrac {1}{2}$

Λήμμα: Αν ρητοί με $\sqrt k=p\sqrt 2 + q\sqrt 3$ , τότε ένα από τα είναι μηδέν. Και άρα είτε $\sqrt k=p\sqrt 2$ ή $\sqrt k= q\sqrt 3$ .

Απόδειξη άμεση υψώνοντας στο τετράγωνο και με χρήση της αρρητότητας της $\sqrt 6$ .

Έστω τώρα $\dfrac{\sqrt{8}+\sqrt{27}}{\sqrt{k}+\sqrt{2}} -\sqrt{6}= u \in \mathbb Q$ .

Λύνοντας ως προς $\sqrt k$ θα βρούμε

$\sqrt k = \dfrac {-3+2u-u^2}{u^2-6} \sqrt 2 + \dfrac {3u-4}{u^2-6} \sqrt 3$

Από το Λήμμα θα είναι είτε -3+2u-u^2=0

ή

. H πρώτη δεν έχει ρίζα (αρνητική διακρίνουσα) οπότε από την δεύτερη έχουμε $u = \dfrac {4} {3}$ και

$\sqrt k = \dfrac {-3+2u-u^2}{u^2-6} \sqrt 2$ . Όμως για αυτή την τιμή του

έχουμε

$\sqrt k = \dfrac {-3+2u-u^2}{u^2-6} \sqrt 2 = \dfrac {\sqrt 2}{2}$ ή αλλιώς $\boxed {k= \dfrac {1}{2}}$

Μπορούμε να δούμε ότι επαληθεύει, και συγκεκριμένα η τιμή της παράστασης είναι ο ρητός $u = \dfrac {4} {3}$ .

Ρητοί και άρρητοι

Ρητοί και άρρητοι

Re: Ρητοί και άρρητοι

Re: Ρητοί και άρρητοι

Re: Ρητοί και άρρητοι

Re: Ρητοί και άρρητοι

Re: Ρητοί και άρρητοι

Μέλη σε σύνδεση